Asymptotes
Propriété Les trois asymptotes
- $\lim\limits_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ ⇒ la droite $x=a$ est une asymptote verticale.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ ⇒ la droite $y=b$ est une asymptote horizontale.
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ ⇒ $y=ax+b$ est une asymptote oblique
Méthode Chercher une asymptote oblique
- Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ : on calcule $a=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
- Si $a\in\mathbb{R}^*$ : on calcule $b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax]$ ; si $b\in\mathbb{R}$ : asymptote $y=ax+b$.
- Position relative : signe de $f(x)-(ax+b)$ ; positif ⇒ $(C_f)$ au-dessus.
Branches paraboliques
Formules Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$
| $\lim\dfrac{f(x)}{x}$ | $\lim[f(x)-ax]$ | Conclusion |
| $\pm\infty$ | — | branche parabolique de direction l'axe des ordonnées |
| $0$ | — | branche parabolique de direction l'axe des abscisses |
| $a\in\mathbb{R}^*$ | $b\in\mathbb{R}$ | asymptote oblique $y=ax+b$ |
| $a\in\mathbb{R}^*$ | $\pm\infty$ | branche parabolique de direction $y=ax$ |
Concavité et points d'inflexion
Propriété Dérivée seconde
- $f''\geq0$ sur $I$ ⇒ $(C_f)$ convexe (au-dessus de ses tangentes).
- $f''\leq0$ sur $I$ ⇒ $(C_f)$ concave (en dessous de ses tangentes).
Si $f''$ s'annule et change de signe en $a$ ⇒ $A(a;f(a))$ est un point d'inflexion
- $f'$ s'annule en $a$ sans changer de signe ⇒ point d'inflexion à tangente horizontale.
Symétries et périodicité
Formules Conditions
- Axe de symétrie $x=a$ : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
- Centre de symétrie $\Omega(a;b)$ : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.
- Période $T>0$ : $(\forall x\in D_f)\ x\pm T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$.
Ces propriétés réduisent le domaine d'étude
Plan d'étude d'une fonction
Méthode Les cinq étapes
1. Ensemble de définition ; parité, périodicité (réduction du domaine).
2. Limites aux bornes ; continuité ; branches infinies.
3. Dérivabilité (et pourquoi), $f'(x)$, $f'(x)=0$, signe, tableau de variations.
4. Dérivée seconde : concavité, points d'inflexion.
5. Points particuliers, tangentes utiles, puis tracé.
Exemple $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}=x+\dfrac{1}{x-1}$
- Asymptotes : $x=1$ et $y=x$ ; $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
- Maximum $f(0)=-1$ ; minimum $f(2)=3$ ; centre de symétrie $\Omega(1;1)$.
Résolution graphique
Méthode Utiliser la courbe
- Solutions de $f(x)=m$ : abscisses des points d'intersection de $(C_f)$ et de la droite $y=m$.
- Solutions de $f(x)>g(x)$ : abscisses des points où $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.
- Nombre de solutions de $f(x)=m$ : on compare $m$ aux extremums et aux limites.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Conclure à une asymptote oblique sans calculer $b$, ou sans vérifier que $b$ est fini.
- Confondre $f'=0$ (extremum possible) et $f''=0$ (inflexion possible) : il faut un changement de signe.
- Étudier une symétrie sans vérifier la condition $2a-x\in D_f$.
À retenir À retenir
- $\lim f=\pm\infty$ en $\pm\infty$ : on calcule $\lim\dfrac{f(x)}{x}$ puis $\lim[f(x)-ax]$.
- Signe de $f''$ ⇒ concavité ; changement de signe de $f''$ ⇒ point d'inflexion.
Astuce Conseil
- Avant de tracer : asymptotes, tableau de variations, points particuliers, tangentes.