Branches infinies
Définition
On dit que $(C_f)$ admet une branche infinie si l’une des coordonnées d’un point $M(x;f(x))$ de la courbe tend vers l’infini.
Asymptotes
Propriété
- $\lim\limits_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ : la droite $x=a$ est une asymptote verticale.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ : la droite $y=b$ est une asymptote horizontale au voisinage de $\pm\infty$.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ : la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
Méthode Chercher une asymptote oblique
Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$ : on calcule $a=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ ; si $a\in\mathbb{R}^*$, on calcule $b=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-ax\right]$ ; si $b\in\mathbb{R}$, $y=ax+b$ est asymptote.
>> Position relative : on étudie le signe de $f(x)-(ax+b)$ ; positif ⇒ $(C_f)$ au-dessus de l’asymptote.
Branches paraboliques
Propriété Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$
| $\lim\dfrac{f(x)}{x}$ | $\lim\left[f(x)-ax\right]$ | Conclusion |
| $\pm\infty$ | — | branche parabolique de direction l’axe des ordonnées |
| $0$ | — | branche parabolique de direction l’axe des abscisses |
| $a\in\mathbb{R}^*$ | $b\in\mathbb{R}$ | asymptote oblique $y=ax+b$ |
| $a\in\mathbb{R}^*$ | $\pm\infty$ | branche parabolique de direction $y=ax$ |
Exemple
$f(x)=\sqrt{x}$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ et $\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$.
Branche parabolique de direction l’axe des abscisses
$g(x)=\dfrac{x^2}{8}$ : $\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{x}{8}\to+\infty$.
Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
Concavité et points d’inflexion
Définition
Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ ; $f''$ est la dérivée seconde de $f$ (dérivée de $f'$).
- $(C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est au-dessus de toutes ses tangentes ; concave si elle est en dessous.
- Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente (changement de concavité).
Théorème
- Si $f''\geq0$ sur $I$, $(C_f)$ est convexe sur $I$ ; si $f''\leq0$, $(C_f)$ est concave.
- Si $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe, le point $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion.
- Si $f'$ s’annule en $a$ sans changer de signe, $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion (à tangente horizontale).
Exemple $f(x)=x^3+3x^2+1$
$f'(x)=3x^2+6x$ et $f''(x)=6x+6$ ; $f''(x)=0\iff x=-1$, avec changement de signe.
$f''<0$ sur $]-\infty;-1[$ : concave ; $f''>0$ sur $]-1;+\infty[$ : convexe ; $f(-1)=3$.
Tangente en $I$ : $f'(-1)=-3$, donc $(T)\ :\ y=-3(x+1)+3=-3x$ ; la courbe traverse $(T)$ en $I$.
$I(-1;3)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$
Éléments de symétrie — Périodicité
Propriété
- La droite $x=a$ est axe de symétrie de $(C_f)$ si : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
- $\Omega(a;b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ si : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.
- $f$ est périodique de période $T>0$ si : $(\forall x\in D_f)\ x\pm T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$ ; on l’étudie sur un intervalle de longueur $T$.
>> Ces propriétés permettent de réduire le domaine d’étude.
Plan d’étude d’une fonction
Méthode
1. Ensemble de définition ; parité, périodicité éventuelles (réduction du domaine).
2. Limites aux bornes du domaine ; continuité ; branches infinies.
3. Dérivabilité (et pourquoi), calcul de $f'(x)$, résolution de $f'(x)=0$, signe, tableau de variations.
4. Dérivée seconde : concavité, points d’inflexion.
5. Points particuliers (intersections avec les axes), tangentes utiles, puis tracé.
Exemple Fonction rationnelle : $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$
1. $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ ; on vérifie que $f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}$.
2. En $1$ : « $\dfrac{1}{0}$ » : $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ : asymptote $x=1$.
En $\pm\infty$ : $f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to0$ : asymptote oblique $y=x$ ; $(C_f)$ au-dessus pour $x>1$, en dessous pour $x<1$.
3. Dérivable sur $D_f$ (rationnelle) : $f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ ; $f'(x)=0\iff x=0$ ou $x=2$.
4. $f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}$ : concave sur $]-\infty;1[$, convexe sur $]1;+\infty[$ ; $\Omega(1;1)$ est centre de symétrie.
Exemple : fonction irrationnelle
Exemple $f(x)=x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^2$ sur $[0;+\infty[$
**Dérivabilité en $0$** : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to-\infty$ : demi-tangente verticale en $A(0;1)$.
Sur $]0;+\infty[$ : $f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ ; décroissante sur $[0;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$ ; $f(1)=0$.
En $+\infty$ : $f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)+1\to+\infty$ ; $\dfrac{f(x)}{x}\to1$ ; $f(x)-x=1-2\sqrt{x}\to-\infty$.
Branche parabolique de direction la droite $y=x$
Utilisation de la courbe
Méthode Résolution graphique
- Les solutions de $f(x)=m$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et de la droite $y=m$.
- Les solutions de $f(x)>g(x)$ sont les abscisses des points où $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.
Exemple
Avec $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$ (IV) : nombre de solutions de $f(x)=m$ selon $m$.
- $m<-1$ ou $m>3$ : deux solutions ; $m=-1$ ou $m=3$ : une solution ; $-1<m<3$ : aucune.
Erreur fréquente
- Conclure à une asymptote oblique sans calculer $b$, ou sans vérifier que $b$ est fini.
- Confondre $f'=0$ (extremum possible) et $f''=0$ (inflexion possible) : il faut un changement de signe.
À retenir
- $\lim f=\pm\infty$ en $\pm\infty$ : on calcule $\lim\dfrac{f(x)}{x}$ puis $\lim\left[f(x)-ax\right]$.
- Signe de $f''$ ⇒ concavité ; changement de signe de $f''$ ⇒ point d’inflexion.