Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Généralités (§ I).
1. Vérifier que $y(x)=e^{2x}+x$ est solution de l’équation $y'-2y=1-2x$.
2. Vérifier que $y(x)=\cos(3x)$ est solution de l’équation $y''+9y=0$.
Exercice 2 ★
Équation $y'=ay+b$ (§ II). Résoudre :
a) $y'=-3y$ ; b) $y'=2y+4$, puis déterminer la solution $f$ de b) telle que $f(0)=1$.
Exercice 3 ★
Application : charge d’un condensateur (§ III). Dans un circuit RC, la tension $u$ (en V) aux bornes du condensateur vérifie $\tau u'+u=E$, avec $E=6$, $\tau=RC=0{,}5$ (en s) et $u(0)=0$.
1. Écrire l’équation sous la forme $u'=au+b$.
2. Déterminer $u(t)$.
3. Calculer $\lim\limits_{t\to+\infty}u(t)$ et l’instant $t_1$ tel que $u(t_1)=0{,}99E$.
Exercice 4 ★
Équation $y''+ay'+by=0$ (§ IV). Résoudre :
a) $y''-3y'+2y=0$ ; b) $y''+4y'+4y=0$ ; c) $y''+2y'+5y=0$.
Exercice 5 ★
Cas $y''+\omega^2y=0$ (§ V). Soit (E) : $y''+9y=0$.
1. Donner la solution générale de (E).
2. Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=3$.
3. Montrer que $f(x)=\sqrt{2}\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Exercice 6 ★
Conditions initiales (§ VI). Déterminer la solution de l’équation $y''-y'-2y=0$ qui vérifie $y(0)=0$ et $y'(0)=3$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Équation avec second membre. Soit (E) : $y'+y=2e^{-x}$.
1. Vérifier que $g(x)=2xe^{-x}$ est une solution de (E).
2. Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $y-g$ est solution de $(E_0)$ : $y'+y=0$.
3. En déduire les solutions de (E), puis celle qui vérifie $y(0)=1$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
Synthèse. Partie A : soit (E) : $y''+4y=0$.
1. Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0)=1$ et $f'(0)=2\sqrt{3}$.
2. Montrer que $f(x)=2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
Partie B.
3. Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$ et donner ses valeurs maximale et minimale.
4. Résoudre dans $[0;\pi]$ l’équation $f(x)=1$.
5. Calculer $f''(x)$ et vérifier directement que $f''+4f=0$.
Corrections
Correction 1
💡 Pour vérifier qu’une fonction est solution : on calcule $y'$ (et $y''$), puis on remplace dans l’équation.
1. $y'(x)=2e^{2x}+1$
$y'-2y=2e^{2x}+1-2e^{2x}-2x$
$=1-2x$
$y(x)=e^{2x}+x$ est solution
2. $y'(x)=-3\sin(3x)$ ; $y''(x)=-9\cos(3x)$
$y''+9y=-9\cos(3x)+9\cos(3x)$
$=0$
$y(x)=\cos(3x)$ est solution
Correction 2
💡 Les solutions de $y'=ay+b$ ($a\neq0$) sont les fonctions $y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$, $k\in\mathbb{R}$.
a) $a=-3$, $b=0$ :
$y(x)=ke^{-3x}$, $k\in\mathbb{R}$
b) $a=2$, $b=4$, $-\dfrac{b}{a}=-2$ :
$y(x)=ke^{2x}-2$, $k\in\mathbb{R}$
$f(0)=1\iff k-2=1$
$\iff k=3$
$f(x)=3e^{2x}-2$
Correction 3
1. $u'=-\dfrac{1}{\tau}u+\dfrac{E}{\tau}$
$=-2u+12$
2. $a=-2$, $b=12$ : $u(t)=ke^{-2t}+6$ ; $u(0)=0$ donne $k=-6$ :
$u(t)=6\left(1-e^{-2t}\right)$
3. $e^{-2t}\to0$ : $\lim\limits_{t\to+\infty}u(t)=6=E$ (le condensateur se charge complètement).
$u(t_1)=0{,}99\times6\iff1-e^{-2t_1}=0{,}99$
$\iff e^{-2t_1}=0{,}01$
$\iff t_1=\dfrac{\ln100}{2}$
$t_1=\dfrac{\ln100}{2}\approx2{,}3$ s, soit environ $4{,}6\tau$
Correction 4
💡 Équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ : $\Delta>0$ : $y=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$ ; $\Delta=0$ : $y=(\alpha x+\beta)e^{rx}$ ; $\Delta<0$ ($r=p\pm iq$) : $y=e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))$.
a) $r^2-3r+2=0$ : $\Delta=1$, $r_1=1$, $r_2=2$ :
$y(x)=\alpha e^x+\beta e^{2x}$
b) $r^2+4r+4=(r+2)^2=0$ : $r=-2$ (racine double) :
$y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-2x}$
c) $r^2+2r+5=0$ : $\Delta=-16$, $r=-1\pm2i$ :
$y(x)=e^{-x}(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x))$
(avec $\alpha$ et $\beta$ réels)
Correction 5
1. $\omega=3$ :
$y(x)=\alpha\cos(3x)+\beta\sin(3x)$, avec $\alpha$ et $\beta$ réels
2. $f'(x)=-3\alpha\sin(3x)+3\beta\cos(3x)$
$f(0)=\alpha=1$ et $f'(0)=3\beta=3$, donc $\beta=1$ :
$f(x)=\cos(3x)+\sin(3x)$
3. $\sqrt{2}\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos(3x)\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin(3x)\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos(3x)+\sin(3x)\right)$
$=f(x)$
Correction 6
💡 On écrit la solution générale, puis on traduit les deux conditions par un système d’inconnues $\alpha$ et $\beta$.
$r^2-r-2=(r-2)(r+1)=0$ : $y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{-x}$ et $y'(x)=2\alpha e^{2x}-\beta e^{-x}$.
$y(0)=0\iff\alpha+\beta=0$ et $y'(0)=3\iff2\alpha-\beta=3$.
En additionnant : $3\alpha=3$, donc $\alpha=1$ et $\beta=-1$ :
$y(x)=e^{2x}-e^{-x}$
Correction 7
1. $g'(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}$
$g'(x)+g(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}+2xe^{-x}$
$=2e^{-x}$
2. $(y-g)'+(y-g)=(y'+y)-(g'+g)$
$=(y'+y)-2e^{-x}$
Donc $(y-g)'+(y-g)=0\iff y'+y=2e^{-x}$ :
$y$ solution de (E) $\iff y-g$ solution de $(E_0)$
3. Les solutions de $(E_0)$ sont $ke^{-x}$ ; donc $y-g=ke^{-x}$ :
$y(x)=(2x+k)e^{-x}$, $k\in\mathbb{R}$
$y(0)=k=1$ :
$y(x)=(2x+1)e^{-x}$
Correction 8
1. $\omega=2$ : $f(x)=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)$ et $f'(x)=-2\alpha\sin(2x)+2\beta\cos(2x)$.
$f(0)=\alpha=1$ ; $f'(0)=2\beta=2\sqrt{3}$, donc $\beta=\sqrt{3}$ :
$f(x)=\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)$
2. $2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\cos(2x)\cos\dfrac{\pi}{3}+\sin(2x)\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$
$=2\left(\dfrac{1}{2}\cos(2x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x)\right)$
$=f(x)$
3. $f(x+\pi)=2\cos\left(2x+2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)$
$=f(x)$
$-1\leq\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\leq1$ :
valeur maximale $2$ et valeur minimale $-2$
4. $f(x)=1\iff\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}$
$2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $2x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$), soit $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ ou $x=k\pi$.
Dans $[0;\pi]$ :
$S=\left\{0;\dfrac{\pi}{3};\pi\right\}$
5. $f'(x)=-4\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ ; $f''(x)=-8\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-4f(x)$
$f''+4f=0$ ✔