Généralités
Définition
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ de la variable $x$, et qui fait intervenir $y$ et ses dérivées $y'$, $y''$.
Résoudre l’équation sur $\mathbb{R}$, c’est déterminer toutes les fonctions dérivables (deux fois si besoin) qui la vérifient : ce sont ses solutions.
Exemple
La fonction $y(x)=e^{3x}$ est solution de $y'=3y$ : en effet $y'(x)=3e^{3x}=3y(x)$.
Équation $y'=ay+b$
Propriété Cas $b=0$ : $y'=ay$
Les solutions de $y'=ay$ ($a\in\mathbb{R}$) sont les fonctions :
$y(x)=ke^{ax}$ ; $k\in\mathbb{R}$
Propriété Cas général : $y'=ay+b$ avec $a\neq0$
Les solutions sont les fonctions :
$y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ; $k\in\mathbb{R}$
- Pour tout couple $(x_0;y_0)$, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$.
>> La fonction constante $x\mapsto-\dfrac{b}{a}$ est la solution particulière constante ($y'=0$).
Méthode Résoudre avec une condition initiale
1. On écrit l’équation sous la forme $y'=ay+b$ et on identifie $a$ et $b$ ;
2. on donne la solution générale $y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ;
3. on détermine $k$ grâce à la condition $y(x_0)=y_0$.
Exemple
Résoudre $y'+2y=4$, puis trouver la solution vérifiant $y(0)=1$.
$y'=-2y+4$ : $a=-2$, $b=4$ et $-\dfrac{b}{a}=2$ ; solutions : $y(x)=ke^{-2x}+2$, $k\in\mathbb{R}$.
$y(0)=1\iff k+2=1\iff k=-1$.
$y(x)=2-e^{-2x}$
Application : charge d’un condensateur
Application
Dans un circuit $RC$ alimenté par une tension constante $E$, la tension $u$ aux bornes du condensateur vérifie $u'+\dfrac{1}{\tau}u=\dfrac{E}{\tau}$ avec $\tau=RC$ et $u(0)=0$. Déterminer $u(t)$.
Réponse
$u'=-\dfrac{1}{\tau}u+\dfrac{E}{\tau}$ : $a=-\dfrac{1}{\tau}$ et $-\dfrac{b}{a}=E$ ; donc $u(t)=ke^{-\frac{t}{\tau}}+E$.
$u(0)=0\iff k+E=0\iff k=-E$.
$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
>> $\lim\limits_{t\to+\infty}u(t)=E$ : le condensateur se charge jusqu’à la tension $E$.
Équation $y''+ay'+by=0$
Définition
L’équation caractéristique de $(E)$ : $y''+ay'+by=0$ ($a,b\in\mathbb{R}$) est l’équation du second degré :
$r^2+ar+b=0$ ; $\Delta=a^2-4b$
>> Elle provient de la recherche de solutions de la forme $y=e^{rx}$ : $y''+ay'+by=\left(r^2+ar+b\right)e^{rx}$.
Propriété Solutions de $(E)$ ($\alpha,\beta\in\mathbb{R}$)
- Si $\Delta>0$ : deux racines réelles $r_1$ et $r_2$ : $y(x)=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$.
- Si $\Delta=0$ : une racine double $r$ : $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{rx}$.
- Si $\Delta<0$ : deux racines complexes $p+iq$ et $p-iq$ : $y(x)=e^{px}\left(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\right)$.
Exemple Les trois cas
$y''-3y'+2y=0$ : $r^2-3r+2=0$, $\Delta=1$, $r_1=1$, $r_2=2$.
$y(x)=\alpha e^{x}+\beta e^{2x}$
$y''+4y'+4y=0$ : $r^2+4r+4=(r+2)^2=0$, racine double $r=-2$.
$y(x)=(\alpha x+\beta)e^{-2x}$
$y''+2y'+5y=0$ : $\Delta=4-20=-16<0$, racines $-1+2i$ et $-1-2i$ ($p=-1$, $q=2$).
$y(x)=e^{-x}\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)$
Cas particulier : $y''+\omega^2y=0$
Propriété
Pour $\omega>0$, l’équation caractéristique $r^2+\omega^2=0$ a pour racines $\pm i\omega$ ; les solutions sont :
$y(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$
>> On peut aussi écrire $y(x)=A\cos(\omega x+\varphi)$ : c’est l’équation de l’oscillateur harmonique (ressort, circuit $LC$) de période $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$.
Solution vérifiant des conditions initiales
Propriété
Pour tous réels $x_0$, $y_0$ et $y_1$, l’équation $y''+ay'+by=0$ admet une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$.
Exemple
Résoudre $y''+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$.
$\omega=2$ : $y(x)=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)$ et $y'(x)=-2\alpha\sin(2x)+2\beta\cos(2x)$.
$y(0)=\alpha=1$ et $y'(0)=2\beta=2$, donc $\beta=1$.
$y(x)=\cos(2x)+\sin(2x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$
Exemple
$y''-3y'+2y=0$ avec $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ : $y=\alpha e^{x}+\beta e^{2x}$, $y'=\alpha e^{x}+2\beta e^{2x}$.
$\alpha+\beta=0$ et $\alpha+2\beta=1$, donc $\beta=1$ et $\alpha=-1$.
$y(x)=e^{2x}-e^{x}$
Erreur fréquente
- Pour $y'=ay+b$, écrire $y=ke^{ax}+\dfrac{b}{a}$ : le signe est faux, c’est $-\dfrac{b}{a}$.
- Pour $y'+2y=4$, prendre $a=2$ : il faut d’abord écrire $y'=-2y+4$.
- Si $\Delta<0$, garder le $i$ dans la solution : $y$ est réelle, on utilise $p$ et $q$.
À retenir
- $y'=ay+b$ ($a\neq0$) : $y=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ; $y'=ay$ : $y=ke^{ax}$.
- $y''+ay'+by=0$ : $r^2+ar+b=0$ ; $\Delta>0$ : $\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$ ; $\Delta=0$ : $(\alpha x+\beta)e^{rx}$ ; $\Delta<0$ : $e^{px}\left(\alpha\cos qx+\beta\sin qx\right)$.