خطاطة ذهنية «Équations différentielles» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Premier ordre, second ordre et conditions initiales. Carte mentale Équations différentielles — 2ème année Bac sciences physiques.
À retenir : $y'=ay+b$ ⇒ $y=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$
Généralités
- Inconnue : une fonction $y$
Vérifier : calculer $y'$ et remplacer
Cas $y'=ay$
$y(x)=ke^{ax}$, $k\in\mathbb{R}$
Cas $y'=ay+b$
$y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$
Condition initiale
Solution unique
Condensateur
$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
Équation caractéristique
$r^2+ar+b=0$
Selon $\Delta$
- $\Delta>0$ : $\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$
- $\Delta=0$ : $(\alpha x+\beta)e^{rx}$
$\Delta<0$ : $e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))$
Cas $y''+\omega^2y=0$
- Deux conditions initiales
$\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$
أحفظ : $y'=ay+b$ ⇐ $y=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$
عموميات
للتحقق : نحسب $y'$ ونعوّض
الحالة $y'=ay$
$y(x)=ke^{ax}$، $k\in\mathbb{R}$
الحالة $y'=ay+b$
$y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$
الشرط البدئي
حل وحيد
المكثف
$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
المعادلة المميزة
$r^2+ar+b=0$
حسب $\Delta$
- $\Delta>0$ : $\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$
- $\Delta=0$ : $(\alpha x+\beta)e^{rx}$
$\Delta<0$ : $e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))$
الحالة $y''+\omega^2y=0$
$\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$