Généralités
Définition Équation différentielle
- Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et ses dérivées.
- Une solution est une fonction dérivable qui vérifie l'équation sur $\mathbb{R}$.
- Pour vérifier une solution : on calcule $y'$ (et $y''$) puis on remplace.
Équation $y'=ay+b$
Formules Solutions ($k\in\mathbb{R}$)
- Si $b=0$ : $y'=ay$ a pour solutions $y(x)=ke^{ax}$.
$a\neq0$ : $y'=ay+b$ a pour solutions $y(x)=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$
Méthode Avec une condition initiale $y(x_0)=y_0$
1. On écrit la solution générale.
2. On remplace $x$ par $x_0$ et on calcule $k$ : la solution est unique.
- Exemple : $y'=-2y+4$ et $y(0)=1$ ⇒ $y(x)=2-e^{-2x}$.
Application Charge d'un condensateur
- $RC\,u'+u=E$ et $u(0)=0$ ; on pose $\tau=RC$.
$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
Équation $y''+ay'+by=0$
Définition Équation caractéristique
$r^2+ar+b=0$ ; $\Delta=a^2-4b$
Formules Solutions selon $\Delta$ ($\alpha$, $\beta$ réels)
| $\Delta$ | Racines | Solutions |
| $\Delta>0$ | $r_1$, $r_2$ réelles | $y(x)=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$ |
| $\Delta=0$ | $r$ double | $y(x)=(\alpha x+\beta)e^{rx}$ |
| $\Delta<0$ | $p\pm iq$ | $y(x)=e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))$ |
Propriété Cas particulier : $y''+\omega^2y=0$
$y(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$
- Avec $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$ : la solution est unique.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire $ke^{ax}+\dfrac{b}{a}$ au lieu de $ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
- Pour $\Delta<0$, utiliser $q$ au lieu de $p$ dans l'exponentielle.
- Calculer $\alpha$, $\beta$ avec une seule condition : il en faut deux.
À retenir À retenir
- $y'=ay$ ⇒ $ke^{ax}$ ; $y''+\omega^2y=0$ ⇒ $\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$.
- Une condition initiale pour le 1er ordre, deux pour le 2e ordre.
Astuce Conseil
- Vérifier toujours la solution trouvée en la remplaçant dans l'équation.