Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Calcul d’intégrales (§ I). Calculer :
$I_1=\displaystyle\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx$ ; $I_2=\displaystyle\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx$ ; $I_3=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx$ ; $I_4=\displaystyle\int_0^1e^{2x}\,dx$ ; $I_5=\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx$.
Exercice 2 ★
Linéarité et relation de Chasles (§ II).
1. Calculer $J_1=\displaystyle\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ en utilisant la relation de Chasles.
2. Calculer $J_2=\displaystyle\int_0^1\left(x+e^x\right)dx$ en utilisant la linéarité.
Exercice 3 ★
Ordre — valeur moyenne (§ II).
1. Montrer que pour tout $x\in[0;1]$ : $0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq x^2$.
2. En déduire un encadrement de $K=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{1+x}\,dx$.
3. Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$.
Exercice 4 ★
Intégration par parties (§ III). Calculer :
$A=\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx$ ; $B=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$ ; $C=\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$.
Exercice 5 ★
Calcul d’aires (§ IV). Le plan est muni d’un repère orthonormé d’unité $2$ cm.
1. Calculer l’aire du domaine limité par la courbe de $f(x)=\ln x$, l’axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$.
2. Calculer l’aire du domaine compris entre les courbes de $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0;1]$.
Exercice 6 ★
Calcul de volumes (§ V). Calculer le volume du solide engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses, de la courbe de $f$ sur $I$ :
a) $f(x)=\sqrt{x}$, $I=[0;4]$ ; b) $f(x)=e^{-x}$, $I=[0;1]$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Double intégration par parties. Calculer $I=\displaystyle\int_0^1x^2e^x\,dx$.
Exercice 8 ★★
Suite d’intégrales. Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$.
1. Calculer $I_0$ et $I_0+I_1$ ; en déduire $I_1$.
2. Montrer que $I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$.
3. Montrer que $0\leq I_n\leq\dfrac{1}{n+1}$ ; en déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 9 ★★★
Synthèse. Soit $f(x)=(2-x)e^x$ sur $\mathbb{R}$ et $(C_f)$ sa courbe.
1. Étudier le signe de $f(x)$.
2. Montrer que $F(x)=(3-x)e^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par $(C_f)$, l’axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.
4. Retrouver ce résultat par une intégration par parties.
5. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0;2]$.
Corrections
Correction 1
💡 $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
$I_1=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1$
$=1-1+1=1$
$I_2=[\ln x]_1^e$
$=1-0=1$
$I_3=[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$=1-0=1$
$I_4=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1$
$=\dfrac{e^2-1}{2}$
$I_5=\left[\ln\left(x^2+1\right)\right]_0^1$
$=\ln2$
$I_1=I_2=I_3=1$ ; $I_4=\dfrac{e^2-1}{2}$ ; $I_5=\ln2$
Correction 2
1. $|x|=-x$ sur $[-1;0]$ et $|x|=x$ sur $[0;2]$ :
$J_1=\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\displaystyle\int_0^2x\,dx$
$=\left[-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}+\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2$
$=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}$
2. $J_2=\displaystyle\int_0^1x\,dx+\displaystyle\int_0^1e^x\,dx$
$=\dfrac{1}{2}+(e-1)$
$=e-\dfrac{1}{2}$
$J_1=\dfrac{5}{2}$ ; $J_2=e-\dfrac{1}{2}$
Correction 3
💡 Si $f\leq g$ sur $[a;b]$ ($a\leq b$), alors $\displaystyle\int_a^bf\leq\displaystyle\int_a^bg$ ; valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$.
1. Pour $x\in[0;1]$ : $1+x\geq1$, donc $0<\dfrac{1}{1+x}\leq1$ ; on multiplie par $x^2\geq0$ : $0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq x^2$.
2. On intègre sur $[0;1]$ : $0\leq K\leq\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\dfrac{1}{3}$ :
$0\leq K\leq\dfrac{1}{3}$
3. $\mu=\dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3x^2\,dx$
$=\dfrac{1}{3}\times\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3$
$=\dfrac{1}{3}\times9=3$
$\mu=3$
Correction 4
💡 $\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\displaystyle\int_a^bu'(x)v(x)\,dx$ ; on choisit pour $u$ la fonction qui se simplifie en dérivant.
$A$ : $u(x)=x$, $v'(x)=e^x$ ; $u'(x)=1$, $v(x)=e^x$ :
$A=\left[xe^x\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,dx$
$=e-(e-1)$
$=1$
$B$ : $u(x)=\ln x$, $v'(x)=1$ ; $u'(x)=\dfrac{1}{x}$, $v(x)=x$ :
$B=[x\ln x]_1^e-\displaystyle\int_1^e1\,dx$
$=e-(e-1)$
$=1$
$C$ : $u(x)=x$, $v'(x)=\sin x$ ; $u'(x)=1$, $v(x)=-\cos x$ :
$C=[-x\cos x]_0^{\pi}+\displaystyle\int_0^{\pi}\cos x\,dx$
$=\pi+[\sin x]_0^{\pi}$
$=\pi$
$A=1$ ; $B=1$ ; $C=\pi$
Correction 5
💡 $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx$ (en u.a.) ; entre deux courbes : $\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ ; ici $1$ u.a. $=2\times2=4$ cm².
1. $\ln x\geq0$ sur $[1;e]$, et $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=1$ (intégration par parties, exercice 4) :
$\mathcal{A}=1$ u.a. $=4$ cm²
2. Sur $[0;1]$ : $x-x^2=x(1-x)\geq0$ :
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)dx$
$=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1$
$=\dfrac{1}{6}$
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{6}$ u.a. $=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ cm²
Correction 6
💡 $V=\displaystyle\int_a^b\pi\left(f(x)\right)^2dx$ (en unités de volume).
a) $V=\displaystyle\int_0^4\pi x\,dx$
$=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4$
$=8\pi$
b) $V=\displaystyle\int_0^1\pi e^{-2x}\,dx$
$=\pi\left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^1$
$=\dfrac{\pi}{2}\left(1-e^{-2}\right)$
a) $V=8\pi$ ; b) $V=\dfrac{\pi}{2}\left(1-e^{-2}\right)$
Correction 7
💡 On intègre par parties deux fois ; la deuxième intégrale est $\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=1$ (exercice 4).
$u(x)=x^2$, $v'(x)=e^x$ ; $u'(x)=2x$, $v(x)=e^x$ :
$I=\left[x^2e^x\right]_0^1-2\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx$
$=e-2\times1$
$I=e-2$
Correction 8
1. $I_0=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+x}\,dx$
$=[\ln(1+x)]_0^1=\ln2$
$I_0+I_1=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1+x}{1+x}\,dx$
$=1$
$I_0=\ln2$ et $I_1=1-\ln2$
2. $I_n+I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n(1+x)}{1+x}\,dx$
$=\displaystyle\int_0^1x^n\,dx$
$=\dfrac{1}{n+1}$
3. Sur $[0;1]$ : $0\leq\dfrac{x^n}{1+x}\leq x^n$ (car $1+x\geq1$), donc $0\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}$.
$\dfrac{1}{n+1}\to0$ ; par limites et ordre :
$\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$
Correction 9
1. $e^x>0$ : $f(x)$ a le signe de $2-x$ : $f(x)\geq0$ sur $]-\infty;2]$ et $f(x)<0$ sur $]2;+\infty[$.
2. Dérivabilité : $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est un produit de fonctions dérivables. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$F'(x)=-e^x+(3-x)e^x$
$=(2-x)e^x$
$=f(x)$
3. $f\geq0$ sur $[0;2]$ :
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$
$=F(2)-F(0)$
$=e^2-3$
$\mathcal{A}=e^2-3\approx4{,}39$ u.a.
4. $u(x)=2-x$, $v'(x)=e^x$ ; $u'(x)=-1$, $v(x)=e^x$ :
$\displaystyle\int_0^2(2-x)e^x\,dx=\left[(2-x)e^x\right]_0^2+\displaystyle\int_0^2e^x\,dx$
$=(0-2)+\left(e^2-1\right)$
$=e^2-3$
On retrouve le même résultat ✔.
5. $\mu=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$
$=\dfrac{e^2-3}{2}$
$\mu=\dfrac{e^2-3}{2}\approx2{,}19$