Intégrale d'une fonction continue
Définition Définition
- $f$ continue sur $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, $a$ et $b$ dans $I$ :
$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
- Exemple : $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$.
Propriétés
Formules $f$, $g$ continues ; $a$, $b$, $c$ dans $I$ ; $\lambda\in\mathbb{R}$
- $\displaystyle\int_a^af(x)\,dx=0$ ; $\displaystyle\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$.
- Chasles : $\displaystyle\int_a^cf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx$.
- Linéarité : $\displaystyle\int_a^b(f+\lambda g)(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\lambda\int_a^bg(x)\,dx$.
Propriété Ordre ($a\leq b$)
- $f\geq0$ sur $[a;b]$ ⇒ $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\geq0$.
- $f\leq g$ sur $[a;b]$ ⇒ $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\leq\int_a^bg(x)\,dx$.
Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$
Intégration par parties
Propriété Formule ($u$, $v$ dérivables, $u'$, $v'$ continues)
$\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx$
Méthode Choisir $u$ et $v'$
- $u$ : la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln x$).
- $v'$ : la fonction dont on connaît une primitive ($e^x$, $\cos x$, $\sin x$).
- Exemple : $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$ avec $u=\ln x$ et $v'=1$ donne $1$.
Calcul d'aires
Propriété Aire du domaine entre $(C_f)$, l'axe des abscisses, $x=a$ et $x=b$
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx\ u.a$
- Si $f$ change de signe : on découpe l'intervalle avec Chasles.
- Entre deux courbes : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\ u.a$.
- Exemple : entre $y=x$ et $y=x^2$ sur $[0;1]$ : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{6}\ u.a$.
Calcul de volumes
Formules Solide de révolution autour de l'axe des abscisses
$V=\displaystyle\int_a^b\pi(f(x))^2dx\ u.v$
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier la valeur absolue dans le calcul d'aire.
- Inverser $F(a)$ et $F(b)$ : c'est $F(b)-F(a)$.
- Oublier l'unité d'aire $u.a$.
À retenir À retenir
- $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$.
- Par parties : $\displaystyle\int uv'=[uv]-\int u'v$.
Astuce Conseil
- Pour une aire : étudier d'abord le signe de $f$ (ou de $f-g$) sur $[a;b]$.