Intégrale d’une fonction continue sur un segment
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et $a,b\in I$. L’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le réel :
$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$
>> Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie ; $x$ est une variable muette : $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(t)\,dt$.
Propriété
- $\displaystyle\int_a^af(x)\,dx=0$ et $\displaystyle\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$.
- La fonction $x\mapsto\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt$ est la primitive de $f$ sur $I$ qui s’annule en $a$.
Exemple
$\displaystyle\int_0^1\left(3x^2+2x\right)dx=\left[x^3+x^2\right]_0^1=2$
$\displaystyle\int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx=\left[\ln x\right]_1^e=1$
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$
Propriétés de l’intégrale
Propriété $f$ et $g$ continues sur $I$ ; $a,b,c\in I$ ; $\lambda\in\mathbb{R}$
- Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^cf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx$.
- Linéarité : $\displaystyle\int_a^b(f+\lambda g)(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\lambda\int_a^bg(x)\,dx$.
Propriété Ordre et intégrale ($a\leq b$)
- Positivité : si $f\geq0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\geq0$.
- Comparaison : si $f\leq g$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\leq\int_a^bg(x)\,dx$.
- $\left|\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx$
Définition Valeur moyenne
Pour $a<b$, la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le réel :
$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$
Si $m\leq f\leq M$ sur $[a;b]$, alors $m(b-a)\leq\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\leq M(b-a)$.
Exemple
Valeur moyenne de $x\mapsto x^2$ sur $[0;3]$ : $\mu=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{1}{3}\times9=3$.
Encadrement : pour $x\in[0;1]$, $0\leq\dfrac{x^2}{1+x}\leq x^2$, donc $0\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{1+x}\,dx\leq\dfrac{1}{3}$.
Intégration par parties
Propriété
Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, avec $u'$ et $v'$ continues sur $I$, alors pour $a,b\in I$ :
$\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx$
Méthode Choisir $u$ et $v'$
- On choisit pour $u$ la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, $\ln x$) ;
- et pour $v'$ une fonction dont on connaît une primitive ($e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $1$).
Exemple
$I=\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx$ : $u(x)=x$, $v'(x)=e^x$ ; $u'(x)=1$, $v(x)=e^x$.
$I=\left[xe^x\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-\left[e^x\right]_0^1=e-(e-1)$
$I=1$
$J=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx$ : $u(x)=\ln x$, $v'(x)=1$ ; $u'(x)=\dfrac{1}{x}$, $v(x)=x$.
$J=\left[x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e1\,dx=e-(e-1)$
$J=1$
Calcul d’aires
Propriété
Le plan est rapporté à un repère orthogonal ; l’unité d’aire est $1\ u.a=\|\vec{i}\|\times\|\vec{j}\|$.
- L’aire du domaine limité par $C_f$, l’axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ ($a<b$) est :
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx\ u.a$
- L’aire du domaine limité par $C_f$, $C_g$ et les droites $x=a$, $x=b$ est $\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx\ u.a$.
>> Pour enlever la valeur absolue, on étudie le signe de $f$ (ou de $f-g$) et on découpe avec Chasles.
Exemple Aire entre deux courbes
Entre $y=x$ et $y=x^2$ sur $[0;1]$ : $x-x^2=x(1-x)\geq0$.
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1\left(x-x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1$
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{6}\ u.a$
Exemple Fonction qui change de signe
$f(x)=x^2-1$ sur $[0;2]$ : $f\leq0$ sur $[0;1]$ et $f\geq0$ sur $[1;2]$.
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1\left(1-x^2\right)dx+\int_1^2\left(x^2-1\right)dx=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}$
$\mathcal{A}=2\ u.a$
Calcul de volumes
Propriété Solide de révolution
Dans un repère orthonormé, le volume du solide engendré par la rotation de $C_f$ ($x\in[a;b]$) autour de l’axe des abscisses est :
$V=\displaystyle\int_a^b\pi\left(f(x)\right)^2dx\ u.v$
Exemple
$f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0;1]$ : $V=\displaystyle\int_0^1\pi x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1$.
$V=\dfrac{\pi}{2}\ u.v$
Cône : $f(x)=\dfrac{R}{h}x$ sur $[0;h]$ : $V=\pi\dfrac{R^2}{h^2}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^h=\dfrac{1}{3}\pi R^2h$ (formule connue).
Erreur fréquente
- Calculer une aire par $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ quand $f$ change de signe : on obtient une valeur fausse ; il faut $|f|$.
- Oublier le $-$ devant $\displaystyle\int_a^bu'(x)v(x)\,dx$ dans l’intégration par parties.
- Oublier de convertir en $cm^2$ quand l’unité graphique est donnée.
À retenir
- $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ ; Chasles ; linéarité ; $f\leq g\Rightarrow\displaystyle\int_a^bf\leq\int_a^bg$ ; $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf$.
- $\displaystyle\int_a^buv'=\left[uv\right]_a^b-\int_a^bu'v$ ; $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f(x)|\,dx\ u.a$ ; $V=\displaystyle\int_a^b\pi f^2(x)\,dx\ u.v$.