Niveau 1 — Je m'entraîne : applications directes du cours
Exercice 1 ★
Dénombrement (§ I). Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire $3$ boules.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles : a) simultanément ; b) successivement sans remise ; c) successivement avec remise ?
2. Combien y a-t-il de tirages simultanés contenant exactement $2$ boules rouges ?
Exercice 2 ★
Probabilités (§ II, III). On reprend l’urne précédente et on tire simultanément $3$ boules. Calculer la probabilité des événements :
$A$ : « les trois boules sont rouges » ; $B$ : « exactement deux boules sont rouges » ; $C$ : « au moins une boule est blanche » ; $D$ : « les trois boules sont de même couleur ».
Exercice 3 ★
Événements (§ II, III). On lance un dé équilibré à six faces. Soit $A$ : « le résultat est pair » et $B$ : « le résultat est supérieur ou égal à $4$ ».
Calculer $p(A)$, $p(B)$, $p(A\cap B)$ et $p(A\cup B)$.
Exercice 4 ★
Probabilité conditionnelle (§ IV). Une usine possède deux machines : $M_1$ fabrique $60\%$ des pièces et $M_2$ en fabrique $40\%$. $2\%$ des pièces de $M_1$ et $5\%$ des pièces de $M_2$ sont défectueuses. On choisit une pièce au hasard et on note $D$ : « la pièce est défectueuse ».
1. Calculer $p(D)$ (on pourra utiliser un arbre).
2. La pièce est défectueuse ; quelle est la probabilité qu’elle provienne de $M_1$ ?
Exercice 5 ★
Indépendance (§ V). On reprend le dé de l’exercice 3, avec $C$ : « le résultat est inférieur ou égal à $2$ ».
1. Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Exercice 6 ★
Épreuves répétées (§ VI). On lance $4$ fois un dé équilibré. Calculer la probabilité d’obtenir :
a) exactement deux fois le $6$ ; b) au moins une fois le $6$.
Exercice 7 ★
Variable aléatoire (§ VII). Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire simultanément $2$ boules et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l’espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 8 ★★
Loi binomiale (§ VIII). Un joueur de basket réussit un tir avec la probabilité $0{,}7$. Il effectue $5$ tirs indépendants ; $X$ est le nombre de tirs réussis.
1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer $p(X=3)$ et $p(X\geq1)$.
3. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 9 ★★★
Synthèse. Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires.
1. On tire simultanément $2$ boules. Calculer la probabilité $p$ de l’événement $S$ : « les deux boules sont de même couleur ».
2. On tire maintenant successivement et sans remise $2$ boules. Calculer la probabilité que la deuxième boule soit noire, puis la probabilité que la première soit blanche sachant que la deuxième est noire.
3. On répète $3$ fois, de manière indépendante, l’épreuve de la question 1 (en remettant les boules après chaque épreuve). Soit $Y$ le nombre de fois où $S$ est réalisé. Déterminer la loi de $Y$, puis calculer $p(Y=2)$ et $E(Y)$.
Corrections
Correction 1
💡 Tirage simultané : combinaisons $C_n^p$ ; successif sans remise : arrangements $A_n^p$ ; successif avec remise : $n^p$.
1. a) $C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$ ; b) $A_8^3=8\times7\times6=336$ ; c) $8^3=512$.
2. On choisit $2$ rouges parmi $5$ et $1$ blanche parmi $3$ :
$C_5^2\times C_3^1=10\times3$
$=30$
$30$ tirages
Correction 2
💡 Équiprobabilité : $p(E)=\dfrac{\operatorname{card}E}{\operatorname{card}\Omega}$ avec $\operatorname{card}\Omega=C_8^3=56$ ; « au moins un » : on passe par l’événement contraire.
$p(A)=\dfrac{C_5^3}{56}=\dfrac{10}{56}=\dfrac{5}{28}$ ; $p(B)=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}$.
$C=\overline{A}$ : $p(C)=1-p(A)=\dfrac{23}{28}$.
$D$ : trois rouges ou trois blanches : $p(D)=\dfrac{C_5^3+C_3^3}{56}=\dfrac{11}{56}$.
$p(A)=\dfrac{5}{28}$ ; $p(B)=\dfrac{15}{28}$ ; $p(C)=\dfrac{23}{28}$ ; $p(D)=\dfrac{11}{56}$
Correction 3
$\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ (équiprobabilité) ; $A=\{2;4;6\}$, $B=\{4;5;6\}$, $A\cap B=\{4;6\}$.
$p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ ; $p(B)=\dfrac{1}{2}$ ; $p(A\cap B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
$p(A\cup B)=\dfrac{2}{3}$
Correction 4
💡 Probabilités totales : $p(D)=p(M_1)\,p_{M_1}(D)+p(M_2)\,p_{M_2}(D)$ ; puis $p_D(M_1)=\dfrac{p(M_1\cap D)}{p(D)}$.
1. $p(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05$
$=0{,}012+0{,}02$
$=0{,}032$
2. $p_D(M_1)=\dfrac{p(M_1\cap D)}{p(D)}$
$=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}$
$=0{,}375$
$p(D)=0{,}032$ ; $p_D(M_1)=0{,}375$
Correction 5
💡 $A$ et $C$ sont indépendants $\iff p(A\cap C)=p(A)\times p(C)$.
1. $C=\{1;2\}$, $p(C)=\dfrac{1}{3}$ ; $A\cap C=\{2\}$, $p(A\cap C)=\dfrac{1}{6}$.
$p(A)\times p(C)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}=p(A\cap C)$ :
$A$ et $C$ sont indépendants
2. $p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{1}{3}=p(A\cap B)$ :
$A$ et $B$ ne sont pas indépendants
Correction 6
💡 $n$ épreuves indépendantes, succès de probabilité $p$ : la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès est $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.
Ici $n=4$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
a) $C_4^2\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^2=6\times\dfrac{1}{36}\times\dfrac{25}{36}$
$=\dfrac{150}{1296}=\dfrac{25}{216}$
b) Événement contraire : « aucun $6$ », de probabilité $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4=\dfrac{625}{1296}$ :
$1-\dfrac{625}{1296}=\dfrac{671}{1296}$
a) $\dfrac{25}{216}$ ; b) $\dfrac{671}{1296}$
Correction 7
1. $\operatorname{card}\Omega=C_5^2=10$ ; $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$ :
$p(X=0)=\dfrac{C_2^2}{10}=\dfrac{1}{10}$ ; $p(X=1)=\dfrac{C_3^1C_2^1}{10}=\dfrac{6}{10}$ ; $p(X=2)=\dfrac{C_3^2}{10}=\dfrac{3}{10}$
(vérification : $\dfrac{1+6+3}{10}=1$ ✔)
2. $E(X)=0\times\dfrac{1}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{3}{10}$
$=\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}$
$E(X^2)=\dfrac{6}{10}+4\times\dfrac{3}{10}$
$=\dfrac{18}{10}=\dfrac{9}{5}$
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$=\dfrac{9}{5}-\dfrac{36}{25}=\dfrac{9}{25}$
$E(X)=\dfrac{6}{5}$ ; $V(X)=\dfrac{9}{25}$ ; $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\dfrac{3}{5}$
Correction 8
1. $5$ épreuves identiques et indépendantes, chacune à deux issues (succès de probabilité $0{,}7$) :
$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5;0{,}7)$
2. $p(X=3)=C_5^3(0{,}7)^3(0{,}3)^2$
$=10\times0{,}343\times0{,}09$
$=0{,}3087$
$p(X\geq1)=1-p(X=0)$
$=1-(0{,}3)^5$
$=0{,}99757$
3. $E(X)=np=5\times0{,}7=3{,}5$ ; $V(X)=np(1-p)=5\times0{,}7\times0{,}3=1{,}05$.
$E(X)=3{,}5$ ; $V(X)=1{,}05$
Correction 9
1. $p=\dfrac{C_3^2+C_2^2}{C_5^2}$
$=\dfrac{3+1}{10}=\dfrac{2}{5}$
2. Arbre : $B_1$ (blanche au premier tirage) de probabilité $\dfrac{3}{5}$, $N_1$ de probabilité $\dfrac{2}{5}$ ; il reste ensuite $4$ boules.
$p(N_2)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{6}{20}+\dfrac{2}{20}=\dfrac{2}{5}$
$p_{N_2}(B_1)=\dfrac{p(B_1\cap N_2)}{p(N_2)}$
$=\dfrac{\frac{6}{20}}{\frac{2}{5}}=\dfrac{3}{4}$
3. $3$ épreuves identiques et indépendantes, succès $S$ de probabilité $\dfrac{2}{5}$ :
$Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3;\dfrac{2}{5}\right)$
$p(Y=2)=C_3^2\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)$
$=3\times\dfrac{4}{25}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{36}{125}$
$E(Y)=3\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}$