Rappels de dénombrement
Propriété Pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $0\leq p\leq n$
- Principe multiplicatif : si une situation comporte $p$ choix successifs ayant $n_1$, $n_2$, …, $n_p$ possibilités, le nombre total est $n_1\times n_2\times\cdots\times n_p$.
- Arrangements : $A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)$ ; permutations : $n!=A_n^n$ ; combinaisons : $C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
Propriété Tirage de $p$ boules parmi $n$
- Simultané : $C_n^p$ ; successif sans remise : $A_n^p$ ; successif avec remise : $n^p$.
Vocabulaire
Définition
- Une expérience aléatoire a des résultats possibles connus mais non prévisibles ; leur ensemble est l’univers $\Omega$.
- Un événement est une partie $A$ de $\Omega$ ; $\Omega$ est l’événement certain, $\varnothing$ l’événement impossible, $\{\omega\}$ un événement élémentaire.
- $A\cap B$ : « $A$ et $B$ » ; $A\cup B$ : « $A$ ou $B$ » ; $\overline{A}$ : contraire de $A$ ; $A$ et $B$ incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.
Probabilité sur un univers fini
Propriété
- $0\leq p(A)\leq1$ ; $p(\Omega)=1$ ; $p(\varnothing)=0$ ; $p(A)$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent $A$.
- $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$ ; $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
Propriété Équiprobabilité
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité :
$p(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}$
Exemple
Une urne contient $3$ boules blanches et $2$ noires ; on tire simultanément $2$ boules : $\operatorname{card}\Omega=C_5^2=10$.
$A$ « deux blanches » : $p(A)=\dfrac{C_3^2}{10}=\dfrac{3}{10}$ ; $B$ « deux couleurs différentes » : $p(B)=\dfrac{C_3^1\times C_2^1}{10}=\dfrac{3}{5}$.
$C$ « au moins une noire » $=\overline{A}$ :
$p(C)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$
Probabilité conditionnelle
Définition
Soit $B$ un événement tel que $p(B)\neq0$. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :
$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$
Donc $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$ (probabilité d’une intersection).
Propriété Formule des probabilités totales
Si $B_1$, …, $B_n$ forment une partition de $\Omega$ (deux à deux incompatibles, de réunion $\Omega$, de probabilités non nulles) :
$p(A)=p(B_1)\,p_{B_1}(A)+\cdots+p(B_n)\,p_{B_n}(A)$
>> Sur un arbre : on multiplie les probabilités le long d’un chemin et on additionne les chemins menant à $A$.
Exemple
Dans un lycée, $60\%$ des élèves sont des filles ($F$) ; $30\%$ des filles et $20\%$ des garçons ($G$) jouent aux échecs ($C$).
$p(C)=0{,}6\times0{,}3+0{,}4\times0{,}2=0{,}18+0{,}08=0{,}26$
Sachant qu’un élève joue aux échecs, la probabilité que ce soit une fille :
$p_C(F)=\dfrac{p(F\cap C)}{p(C)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}26}=\dfrac{9}{13}$
Indépendance
Définition
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si :
$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$
>> Si $p(B)\neq0$, cela équivaut à $p_B(A)=p(A)$ : la réalisation de $B$ ne change pas la probabilité de $A$.
Épreuves répétées
Propriété
On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve où un événement $A$ a la probabilité $p$. La probabilité que $A$ se réalise exactement $k$ fois est :
$C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ ; $0\leq k\leq n$
Exemple
On lance $4$ fois un dé équilibré. Probabilité d’obtenir exactement deux fois le $6$ : $n=4$, $k=2$, $p=\dfrac{1}{6}$.
$C_4^2\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^2=6\times\dfrac{25}{1296}$
$=\dfrac{25}{216}$
Variable aléatoire
Définition
Une variable aléatoire $X$ associe un réel à chaque résultat de $\Omega$. Si $X(\Omega)=\{x_1;\ldots;x_n\}$, la loi de probabilité de $X$ est la donnée des $p_i=p(X=x_i)$ ($\sum p_i=1$).
- Espérance : $E(X)=\sum x_ip_i$ ; variance : $V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2$ ; écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
Exemple
Urne précédente ($3$ blanches, $2$ noires, tirage simultané de $2$ boules) ; $X$ = nombre de boules blanches : $X(\Omega)=\{0;1;2\}$.
$p(X=0)=\dfrac{C_2^2}{10}=\dfrac{1}{10}$ ; $p(X=1)=\dfrac{6}{10}$ ; $p(X=2)=\dfrac{3}{10}$.
$E(X)=0\times\dfrac{1}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{5}$
$E\left(X^2\right)=\dfrac{6}{10}+4\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{5}$ ; $V(X)=\dfrac{9}{5}-\dfrac{36}{25}=\dfrac{9}{25}$
$E(X)=\dfrac{6}{5}$ ; $V(X)=\dfrac{9}{25}$ ; $\sigma(X)=\dfrac{3}{5}$
Loi binomiale
Définition
Dans la situation des épreuves répétées, la variable $X$ égale au nombre de réalisations de $A$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ :
$p(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ ; $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$
Exemple
Dé lancé $4$ fois, $X$ = nombre de $6$ : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $4$ et $\dfrac{1}{6}$.
$E(X)=4\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$ ; $V(X)=4\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{9}$
Erreur fréquente
- Utiliser $C_n^p$ pour un tirage successif : l’ordre compte, on utilise $A_n^p$ (sans remise) ou $n^p$ (avec remise).
- Confondre $p_B(A)$ et $p(A\cap B)$.
- Confondre incompatibles ($A\cap B=\varnothing$) et indépendants ($p(A\cap B)=p(A)p(B)$).
À retenir
- $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)$ ; $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ ; $p(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}$ ; $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$.
- $E(X)=\sum x_ip_i$, $V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2$ ; binomiale : $p(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$, $E=np$, $V=np(1-p)$.