Dénombrement
Formules Formules ($0\leq p\leq n$)
- $A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)$ ; $n!=A_n^n$ ; $C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.
| Tirage de $p$ éléments parmi $n$ | Nombre de cas |
| Simultané | $C_n^p$ |
| Successif sans remise | $A_n^p$ |
| Successif avec remise | $n^p$ |
Probabilité
Définition Vocabulaire
- $\Omega$ : univers ; un événement est une partie de $\Omega$.
- $\overline{A}$ : contraire de $A$ ; $A\cap B=\varnothing$ : $A$ et $B$ incompatibles.
Propriété Propriétés
- $p(\Omega)=1$ ; $p(\overline{A})=1-p(A)$ ; $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.
Équiprobabilité : $p(A)=\dfrac{\operatorname{card}A}{\operatorname{card}\Omega}$
Probabilité conditionnelle
Définition Définition ($p(B)\neq0$)
$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ ; $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$
Propriété Probabilités totales ($B_1$, …, $B_n$ partition de $\Omega$)
$p(A)=p(B_1)\,p_{B_1}(A)+\cdots+p(B_n)\,p_{B_n}(A)$
- Avec l'arbre : $p(C)=0{,}6\times0{,}3+0{,}4\times0{,}2=0{,}26$.
Indépendance et épreuves répétées
Définition Événements indépendants
$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$
Propriété Épreuves répétées
- On répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve où $A$ a la probabilité $p$.
Probabilité que $A$ se réalise exactement $k$ fois : $C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$
Variable aléatoire
Formules Loi, espérance, variance
- Loi de $X$ : les valeurs $x_i$ et les probabilités $p_i=p(X=x_i)$, avec $\sum p_i=1$.
- $E(X)=\sum x_ip_i$ ; $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ ; $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
Formules Loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
$p(X=k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ ; $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Utiliser $C_n^p$ pour un tirage successif : l'ordre compte.
- Confondre $p_B(A)$ et $p(A\cap B)$.
- Oublier de vérifier que la somme des $p_i$ vaut $1$.
À retenir À retenir
- Simultané : $C_n^p$ ; successif sans remise : $A_n^p$ ; avec remise : $n^p$.
- Binomiale : $E(X)=np$ ; $V(X)=np(1-p)$.
Astuce Conseil
- Dès qu'il y a des étapes successives : dessiner un arbre.