Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Opérations (§ I). $ABCDEFGH$ est un cube. Simplifier $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{HD}$.
Exercice 2 ★
Milieux (§ I). $ABCD$ est un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[CD]$. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Exercice 3 ★
Colinéarité (§ II). $ABCD$ est un tétraèdre ; $I$, $J$, $K$, $L$ sont les milieux de $[AB]$, $[AC]$, $[DB]$ et $[DC]$. Montrer que $IJLK$ est un parallélogramme.
Exercice 4 ★
Coplanarité (§ III). $ABCDEFGH$ est un cube. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont coplanaires.
Exercice 5 ★
Coordonnées et alignement (§ IV). Dans un repère de l'espace : $A(1;2;0)$, $B(3;0;1)$ et $C(5;-2;2)$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
Exercice 6 ★
Parallélogramme (§ IV). $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$ et $C(4;3;1)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, puis celles de son centre.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Coplanarité en coordonnées. $\vec{u}(1;2;0)$, $\vec{v}(0;1;-1)$ et $\vec{w}(2;3;2)$. Ces vecteurs sont-ils coplanaires ?
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
$ABCD$ est un tétraèdre et $G$ le centre de gravité du triangle $BCD$ ($\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$).
1. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$.
2. Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$, donner les coordonnées de $G$, puis montrer que $A$, $G$ et $K(2;2;2)$ sont alignés.
Corrections
Correction 1
💡 On remplace des vecteurs par des vecteurs égaux (faces carrées) pour pouvoir appliquer la relation de Chasles.
$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{GC}$ (arêtes parallèles, même sens, même longueur).
$\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GC}$
$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{EA}$, donc $\vec{u}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}$
$\vec{u}=\overrightarrow{EC}$
Correction 2
💡 On décompose $\overrightarrow{IJ}$ de deux façons avec Chasles, puis on additionne ($\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ et $\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}$).
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}$
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}$
$2\overrightarrow{IJ}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}\right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$
Correction 3
💡 Droite des milieux dans les triangles $ABC$ et $DBC$ : on compare $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{KL}$.
Dans $ABC$ : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Dans $DBC$ : de même $\overrightarrow{KL}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Donc $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{KL}$.
$IJLK$ est un parallélogramme
Correction 4
💡 $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ coplanaires $\iff\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.
$EFGH$ et $ABCD$ sont deux faces opposées : $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}$.
$ABCD$ est un carré : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ : les trois vecteurs sont coplanaires
Correction 5
💡 Alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\iff$ coordonnées proportionnelles.
$\overrightarrow{AB}(2;-2;1)$ et $\overrightarrow{AC}(4;-4;2)$
$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$
$A$, $B$ et $C$ sont alignés ($B$ est le milieu de $[AC]$)
Correction 6
💡 $ABCD$ parallélogramme $\iff\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ; le centre est le milieu de $[AC]$.
$\overrightarrow{BC}(1;2;1)$ ; $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff(x_D-1;y_D;z_D-2)=(1;2;1)$
$D(2;2;3)$
Centre : milieu de $[AC]$ : $\Omega\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
Correction 7
💡 $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires ; on cherche $\alpha$, $\beta$ tels que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ et on vérifie toutes les équations.
$\begin{cases}\alpha=2\\2\alpha+\beta=3\\-\beta=2\end{cases}$
Les deux premières donnent $\alpha=2$ et $\beta=-1$ ; la troisième donne $\beta=-2$ : contradiction.
Pas de tels $\alpha$, $\beta$ : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires
Correction 8
💡 On introduit $A$ dans chaque vecteur ; dans ce repère, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $D(0;0;1)$.
1. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\iff3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}$
$\iff3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$
2.
$G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
$\overrightarrow{AK}(2;2;2)=6\overrightarrow{AG}$ : vecteurs colinéaires.
$A$, $G$ et $K$ sont alignés