Vecteurs de l’espace — Opérations
Définition
Les notions de vecteur, d’égalité, de somme et de produit d’un vecteur par un réel vues dans le plan s’étendent à l’espace.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Propriété Règles de calcul
- Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ ;
- Règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\iff ABDC$ est un parallélogramme ;
- $I$ est le milieu de $[AB]\iff\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\iff\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
Exemple Dans un cube
$ABCDEFGH$ est un cube. Simplifier $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GH}$.
Les faces sont des carrés : $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{FE}$.
$\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FE}$
$\vec{u}=\overrightarrow{AE}$ (relation de Chasles)
Exemple
Simplifier $\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.
$ABCD$ est un carré : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (règle du parallélogramme).
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$, donc $\vec{v}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}$.
$\vec{v}=\overrightarrow{AG}$
Vecteurs colinéaires — Droites de l’espace
Définition
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $\vec{u}=\vec{0}$ ou s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
Propriété
- Soit $A$ un point et $\vec{u}\neq\vec{0}$. La droite $D(A,\vec{u})$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que :
$\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}$ avec $t\in\mathbb{R}$
- $A$, $B$, $C$ sont alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Deux droites sont parallèles $\iff$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Exemple Droite des milieux
$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$. Montrer que $(IJ)\parallel(BC)$.
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
$=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires : $(IJ)\parallel(BC)$
Vecteurs coplanaires — Plans de l’espace
Propriété Plan de l’espace
Soient $A$ un point et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $P(A,\vec{u},\vec{v})$ est l’ensemble des points $M$ tels que :
$\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$ avec $(x;y)\in\mathbb{R}^2$
$(\vec{u},\vec{v})$ est un couple de vecteurs directeurs du plan.
Définition Vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si, pour un point $O$, les points $O$, $A$, $B$, $C$ définis par $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{v}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{w}$ sont dans un même plan.
Propriété
- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires $\iff$ il existe deux réels $\alpha$, $\beta$ tels que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.
- Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires $\iff\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.
- Une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle au plan $P(A,\vec{u},\vec{v})$ $\iff\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires.
Exemple Coplanaires
Dans le cube : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires (ils sont dans le plan $(ABC)$)
Exemple Non coplanaires (raisonnement par l’absurde)
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont-ils coplanaires ? On sait que $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.
Supposons $\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$. Alors :
$\overrightarrow{AE}=(x-1)\overrightarrow{AB}+(y-1)\overrightarrow{AD}$
donc $E$ serait dans le plan $(ABD)$ : impossible (la face $ABFE$ est perpendiculaire à $ABCD$).
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AG}$ ne sont pas coplanaires
Base et repère de l’espace — Coordonnées
Définition
Trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ non coplanaires forment une base de l’espace : tout vecteur $\vec{u}$ s’écrit de façon unique $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
$(x;y;z)$ sont les coordonnées de $\vec{u}$. Avec un point $O$, $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un repère ; les coordonnées de $M$ sont celles de $\overrightarrow{OM}$.
Propriété Calculs en coordonnées
Si $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$, $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ :
- $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$
- milieu de $[AB]$ : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$
- $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y';z+z')$ et $k\vec{u}(kx;ky;kz)$
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemple Points alignés
$A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(-1;-1;4)$. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés.
$\overrightarrow{AB}(2;1;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-2;-1;2)$
$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : $A$, $B$, $C$ sont alignés ($A$ est le milieu de $[BC]$)
Exemple Vecteurs coplanaires
$\vec{u}(1;0;1)$, $\vec{v}(0;1;1)$ et $\vec{w}(2;3;5)$. On cherche $\alpha$, $\beta$ tels que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ :
$\begin{cases}\alpha=2\\\beta=3\\\alpha+\beta=5\end{cases}$
Les deux premières équations donnent $\alpha=2$ et $\beta=3$ ; la troisième est vérifiée : $2+3=5$ ✔.
$\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$ : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires
Erreur fréquente
- Dans l’espace, deux droites non parallèles ne se coupent pas forcément : elles peuvent être non coplanaires.
- Pour la coplanarité en coordonnées, il faut vérifier toutes les équations du système (ici la troisième).
Application de synthèse
Application
$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$, $J$ le milieu de $[CD]$ et $G$ le point tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Montrer que $G$ est le milieu de $[IJ]$.
Réponse
>> On introduit les milieux avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$ car $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
De même $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$.
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\iff2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$
$\iff\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$
$G$ est le milieu de $[IJ]$
À retenir
- Les règles du plan (Chasles, parallélogramme, milieu) restent vraies dans l’espace.
- Alignement / parallélisme : vecteurs colinéaires ($\vec{v}=k\vec{u}$).
- Coplanarité : $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ avec $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires.
- Base : trois vecteurs non coplanaires ; en coordonnées, colinéaires $\iff$ coordonnées proportionnelles.