Vecteurs et opérations
Propriété Règles de calcul
- Les règles du plan restent valables : somme, produit par un réel, relation de Chasles.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
- $I$ milieu de $[AB]\iff\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\iff\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
Colinéarité
Définition Vecteurs colinéaires
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff$ il existe $k\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ (ou $\vec{u}=\vec{0}$).
- $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
- $(AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires.
Coplanarité
Définition Vecteurs coplanaires
$\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ coplanaires $\iff$ $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ (avec $\vec{u}$, $\vec{v}$ non colinéaires)
- $A$, $B$, $C$, $D$ coplanaires $\iff\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ coplanaires.
- Une droite est parallèle à un plan si un vecteur directeur de la droite est une combinaison de deux vecteurs du plan.
Base, repère et coordonnées
Formules Coordonnées
- $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ non coplanaires : base ; $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ : repère.
- $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ ; milieu $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.
- $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x’;y’;z’)$ colinéaires $\iff$ coordonnées proportionnelles.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Conclure que trois vecteurs sont coplanaires parce que deux d'entre eux sont colinéaires sans le dire.
- Inverser l'ordre : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $B-A$, pas $A-B$.
À retenir À retenir
- Colinéaires : un seul vecteur suffit ; coplanaires : deux vecteurs suffisent.