Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Formules d'addition (§ I). Calculer les valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin\dfrac{7\pi}{12}$ (on remarquera que $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$).
Exercice 2 ★
Tangente (§ I). Calculer $\tan\dfrac{\pi}{12}$ en écrivant $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$.
Exercice 3 ★
Duplication (§ II). Soit $a\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $\sin a=\dfrac{3}{5}$.
Calculer $\cos a$, puis $\sin2a$ et $\cos2a$.
Exercice 4 ★
Linéarisation (§ II). En utilisant $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$, calculer $\cos\dfrac{\pi}{12}$.
Exercice 5 ★
Produit en somme (§ III). Calculer $A=\sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}$.
Exercice 6 ★
Somme en produit (§ IV). 1. Montrer que $\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$.
2. En déduire les solutions dans $[0;\pi]$ de l'équation $\cos x+\cos3x=0$.
Exercice 7 ★
Transformation de $a\cos x+b\sin x$ (§ V). 1. Écrire $\cos x+\sqrt{3}\sin x$ sous la forme $r\cos(x-\alpha)$.
2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'équation $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$.
Exercice 8 ★
Équation (§ VI). Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $\sin2x=\dfrac{1}{2}$.
Exercice 9 ★
Inéquation (§ VII). Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'inéquation $2\cos x+1>0$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
1. Montrer que pour tout réel $x$ : $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ (on écrira $3x=2x+x$).
2. Résoudre dans $[0;\pi]$ l'équation $\cos3x=\cos x$.
Corrections
Correction 1
💡 $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
$\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
$\sin\dfrac{7\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
Correction 2
💡 $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ ; on rend le dénominateur rationnel.
$\tan\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\times1}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
$=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}$
$\tan\dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$
Correction 3
💡 $\cos^2a+\sin^2a=1$ (avec le signe de $\cos a$), puis $\sin2a=2\sin a\cos a$ et $\cos2a=1-2\sin^2a$.
$\cos^2a=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ et $\cos a>0$ sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$, donc $\cos a=\dfrac{4}{5}$.
$\sin2a=2\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}$
$\cos2a=1-2\times\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}$
$\cos a=\dfrac{4}{5}$ ; $\sin2a=\dfrac{24}{25}$ ; $\cos2a=\dfrac{7}{25}$
Correction 4
💡 On prend $a=\dfrac{\pi}{12}$, donc $2a=\dfrac{\pi}{6}$ ; puis on tient compte du signe.
$\cos^2\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{6}}{2}=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$
$0<\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{2}$, donc $\cos\dfrac{\pi}{12}>0$.
$\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
Correction 5
💡 $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]$.
$A=\dfrac{1}{2}\left[\sin\dfrac{6\pi}{12}+\sin\dfrac{4\pi}{12}\right]=\dfrac{1}{2}\left[\sin\dfrac{\pi}{2}+\sin\dfrac{\pi}{3}\right]$
$=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$A=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$
Correction 6
💡 $\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$ ; un produit est nul si l'un des facteurs est nul.
1. $\cos3x+\cos x=2\cos\dfrac{4x}{2}\cos\dfrac{2x}{2}$
$\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$
2. $2\cos2x\cos x=0\iff\cos2x=0$ ou $\cos x=0$
- $\cos2x=0\iff2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\iff x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$ : dans $[0;\pi]$, $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{3\pi}{4}$ ;
- $\cos x=0$ : dans $[0;\pi]$, $x=\dfrac{\pi}{2}$.
$S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{4}\right\}$
Correction 7
💡 On factorise par $\sqrt{a^2+b^2}$ et on reconnaît $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$.
1. $\sqrt{1+3}=2$ : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\left(\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\cos x+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin x\right)$
$\cos x+\sqrt{3}\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$
2. $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}\iff\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}$
$\iff x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ ou $x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$
$\iff x=\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{12}+2k\pi$
Dans $]-\pi;\pi]$ ($k=0$) : $S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{7\pi}{12}\right\}$
Correction 8
💡 $\sin X=\sin\alpha\iff X=\alpha+2k\pi$ ou $X=\pi-\alpha+2k\pi$ ; on divise aussi $2k\pi$ par $2$.
$\sin2x=\sin\dfrac{\pi}{6}\iff2x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$
$\iff x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$
Dans $[0;2\pi[$ : $k=0$ ou $k=1$.
$S=\left\{\dfrac{\pi}{12};\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{13\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}$
Correction 9
💡 On résout l'équation associée, puis on lit l'arc sur le cercle trigonométrique ($\cos$ sur l'axe des abscisses).
$2\cos x+1>0\iff\cos x>-\dfrac{1}{2}$
$\cos x=-\dfrac{1}{2}\iff x=-\dfrac{2\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$ dans $]-\pi;\pi]$.
Les points d'abscisse $>-\dfrac{1}{2}$ sont sur l'arc de droite, entre ces deux points.
$S=\left]-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right[$
Correction 10
💡 Formule d'addition, puis formules de duplication et $\sin^2x=1-\cos^2x$ ; équation : $\cos X=\cos\alpha$.
1. $\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x$
$=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x$
$=2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x$
$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$
2. $\cos3x=\cos x\iff3x=x+2k\pi$ ou $3x=-x+2k\pi$
$\iff x=k\pi$ ou $x=\dfrac{k\pi}{2}$
Dans $[0;\pi]$ : $S=\left\{0;\dfrac{\pi}{2};\pi\right\}$