Formules d’addition
Propriété
Pour tous réels $a$ et $b$ :
- $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
- $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
- $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
- $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
- Si $a$, $b$ et $a+b$ sont différents de $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ : $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$ et $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$.
Méthode Calculer une valeur exacte
On écrit l’angle comme somme ou différence d’angles connus ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$…), puis on applique la formule.
Exemple $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$
$\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$
$\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}$
$=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
$\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Exemple $\tan\dfrac{5\pi}{12}$
$\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}$
$\tan\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
$=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}$
$\tan\dfrac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}$
Erreur fréquente
- $\cos(a+b)\neq\cos a+\cos b$ ! Contre-exemple : $a=b=\dfrac{\pi}{2}$ : $\cos\pi=-1$ mais $\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.
- Attention aux signes : $\cos(a-b)$ contient un +, $\cos(a+b)$ un −.
Formules de duplication
Propriété
Avec $b=a$ dans les formules d’addition, pour tout réel $a$ :
- $\sin2a=2\sin a\cos a$
- $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$
- $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ (si $\tan a$ existe et $\tan a\neq\pm1$).
Propriété $\cos^2a$ et $\sin^2a$ en fonction de $\cos2a$
$\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$ et $\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}$
Et, si $\cos2a\neq-1$ : $\tan^2a=\dfrac{1-\cos2a}{1+\cos2a}$.
En remplaçant $a$ par $\dfrac{a}{2}$ : $1+\cos a=2\cos^2\dfrac{a}{2}$ ; $1-\cos a=2\sin^2\dfrac{a}{2}$ ; $\sin a=2\sin\dfrac{a}{2}\cos\dfrac{a}{2}$.
>> Ces formules permettent de calculer le cosinus ou le sinus de la moitié d’un angle connu.
Exemple $\cos\dfrac{\pi}{8}$
$\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
Or $0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}$, donc $\cos\dfrac{\pi}{8}>0$.
$\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
Exemple Simplifier une expression
Pour $\cos x\neq0$ et $1+\cos2x\neq0$ :
$\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{1+2\cos^2x-1}$
$=\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}$
$\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}=\tan x$
Propriété En fonction de $t=\tan\dfrac{a}{2}$
Pour $a\neq\pi+2k\pi$, en posant $t=\tan\dfrac{a}{2}$ :
$\cos a=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ; $\sin a=\dfrac{2t}{1+t^2}$ ; $\tan a=\dfrac{2t}{1-t^2}$
Exemple
Si $\tan\dfrac{a}{2}=\sqrt{2}$ :
$\cos a=\dfrac{1-2}{1+2}=-\dfrac{1}{3}$
$\sin a=\dfrac{2\sqrt{2}}{1+2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
$\cos a=-\dfrac{1}{3}$ et $\sin a=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Transformation d’un produit en somme
Propriété
Pour tous réels $a$ et $b$ :
- $\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
- $\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$
- $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
>> Preuve : on additionne ou on soustrait les formules d’addition, par exemple $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$.
Exemple
$\cos\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1}{2}\left[\cos\dfrac{6\pi}{12}+\cos\dfrac{4\pi}{12}\right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{3}\right]=\dfrac{1}{2}\left(0+\dfrac{1}{2}\right)$
$\cos\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1}{4}$
Transformation d’une somme en produit
Propriété
Pour tous réels $p$ et $q$ :
- $\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$
- $\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$
- $\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$
- $\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$
>> Preuve : dans les formules de III, on pose $a+b=p$ et $a-b=q$, donc $a=\dfrac{p+q}{2}$ et $b=\dfrac{p-q}{2}$.
Exemple
$\sin x+\sin3x=2\sin\dfrac{x+3x}{2}\cos\dfrac{x-3x}{2}$
$=2\sin2x\cos(-x)$
$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$ (car $\cos$ est paire)
Remarque Utilité
Écrire une somme sous forme de produit permet de résoudre une équation « $=0$ » (un produit est nul si l’un des facteurs est nul) ou d’étudier un signe.
Transformation de $a\cos x+b\sin x$
Propriété
Soient $a$ et $b$ deux réels avec $(a;b)\neq(0;0)$. Il existe un réel $\alpha$ tel que, pour tout réel $x$ :
$a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\alpha)$
avec $\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Méthode
1. On calcule $\sqrt{a^2+b^2}$ et on le met en facteur.
2. On reconnaît $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ (valeurs remarquables).
3. On applique $\cos x\cos\alpha+\sin x\sin\alpha=\cos(x-\alpha)$.
Exemple $\sqrt{3}\cos x+\sin x$
$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+1}=2$
$\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x\right)$
$=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}\cos x+\sin\dfrac{\pi}{6}\sin x\right)$
$\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$
Exemple $\cos x-\sin x$
$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)$
$=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\cos x-\sin\dfrac{\pi}{4}\sin x\right)$
$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
Équations trigonométriques
Propriété
Soit $\alpha$ un réel et $k\in\mathbb{Z}$ :
- $\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ ;
- $\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$ ;
- $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$ (avec $x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$).
Méthode Résoudre dans un intervalle $I$
1. On écrit l’équation sous la forme $\cos X=\cos\alpha$ (ou $\sin$, $\tan$).
2. On écrit les solutions générales avec $k\in\mathbb{Z}$.
3. On cherche les valeurs de $k$ pour lesquelles $x\in I$ (encadrement).
Exemple $\cos x=\dfrac{1}{2}$ dans $]-\pi;\pi]$
$\cos x=\dfrac{1}{2}\iff\cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}$
$\iff x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
Dans $]-\pi;\pi]$, seul $k=0$ convient.
$S=\left\{-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right\}$
Exemple $\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$ dans $]-\pi;\pi]$
D’après V : $\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
$2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=1\iff\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}$
$\iff x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$
$\iff x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$
$S=\left\{-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{6}\right\}$
Vérification : $\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}=1$ ✔ et $0-(-1)=1$ ✔.
Exemple $\sin2x=\sin x$ dans $[0;2\pi[$
$\sin2x=\sin x\iff2x=x+2k\pi$ ou $2x=\pi-x+2k\pi$
$\iff x=2k\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}$
- $x=2k\pi\in[0;2\pi[$ : $k=0$, donc $x=0$ ;
- $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\in[0;2\pi[$ : $k\in\{0;1;2\}$, donc $x\in\left\{\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.
$S=\left\{0;\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\right\}$
Erreur fréquente
- Oublier la deuxième famille de solutions ($-\alpha+2k\pi$ pour $\cos$, $\pi-\alpha+2k\pi$ pour $\sin$).
- Diviser par $2$ sans diviser $2k\pi$ : $2x=\pi+2k\pi\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
Inéquations trigonométriques
Méthode
1. On résout d’abord l’équation associée dans l’intervalle.
2. On place les solutions sur le cercle trigonométrique.
3. On lit l’arc où l’inégalité est vraie : $\cos x$ se lit sur l’axe des abscisses, $\sin x$ sur l’axe des ordonnées.
Exemple $\cos x\geq\dfrac{1}{2}$ dans $]-\pi;\pi]$
Équation : $x=-\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}$. Les points d’abscisse $\geq\dfrac{1}{2}$ sont sur l’arc de droite.
$S=\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right]$
Exemple $\sin x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $[0;2\pi[$
Équation : $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{3\pi}{4}$. Les points d’ordonnée $<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sont sous la droite $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$S=\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{3\pi}{4};2\pi\right[$
À retenir
- Addition : $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ ; $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$.
- Duplication : $\sin2a=2\sin a\cos a$ ; $\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$.
- $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\alpha)$ : on factorise par $\sqrt{a^2+b^2}$.
- Équations : deux familles de solutions pour $\cos$ et $\sin$, une seule pour $\tan$ (période $\pi$).