Formules d'addition
Formules Formules
- $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ; $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
- $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ ; $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
- $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$
Duplication et linéarisation
Formules Formules
- $\sin2a=2\sin a\cos a$
$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$
- $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$ ; $\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}$ ; $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$
- Avec $t=\tan\dfrac{a}{2}$ : $\cos a=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ; $\sin a=\dfrac{2t}{1+t^2}$
Produit et somme
Formules Produit en somme
- $\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
- $\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$
- $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
Formules Somme en produit
- $\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$ ; $\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$
- $\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$ ; $\sin p-\sin q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$
Transformation de a cos x + b sin x
Méthode Méthode
- On calcule $r=\sqrt{a^2+b^2}$ et on factorise : $a\cos x+b\sin x=r\left(\dfrac{a}{r}\cos x+\dfrac{b}{r}\sin x\right)$.
$a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)$ avec $\cos\varphi=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\varphi=\dfrac{b}{r}$
Équations et inéquations
Propriété Équations fondamentales
- $\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=-\alpha+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$)
- $\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi$ ou $x=\pi-\alpha+2k\pi$
- $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$
Méthode Inéquations
- On résout l'équation associée, puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique dans l'intervalle demandé.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire $\cos(a+b)=\cos a+\cos b$.
- Oublier la deuxième famille de solutions.
À retenir À retenir
- Toutes les formules viennent de $\cos(a-b)$.
- Toujours sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé.