Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Définition (§ I). $ABCD$ est un carré direct de centre $O$ et $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
1. Déterminer $R(A)$, $R(B)$, $R(C)$ et $R(D)$.
2. Quelle est l'image de $B$ par la rotation réciproque de $R$ ?
Exercice 2 ★
Construction (§ I). $\Omega$ et $M$ sont deux points distincts et $M’=R\left(\Omega,\dfrac{\pi}{3}\right)(M)$.
1. Construire $M’$.
2. Montrer que le triangle $\Omega MM’$ est équilatéral.
Exercice 3 ★
Cas particuliers (§ I). Soit $\Omega$ un point. Identifier les transformations $R(\Omega,\pi)$ et $R(\Omega,2\pi)$, puis donner l'image d'un point $M$ par chacune.
Exercice 4 ★
Propriété caractéristique (§ II). $R$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $A’=R(A)$ et $B’=R(B)$. Montrer que $A’B’=AB$ et que $(AB)\perp(A’B’)$.
Exercice 5 ★
Images de figures (§ III). $R=R\left(O,\dfrac{\pi}{3}\right)$, $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$, et $(D)$ une droite.
1. Déterminer l'image de $(\mathcal{C})$ par $R$.
2. Quel angle forment $(D)$ et son image $(D’)$ ?
Exercice 6 ★
Triangle équilatéral (§ IV). $ABC$ est un triangle équilatéral direct, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$. Soit $R=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)$.
1. Justifier que $R(B)=C$.
2. Montrer que $R(I)=J$ et en déduire la nature du triangle $AIJ$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 7 ★★
Deux carrés. $ABC$ est un triangle direct. On construit à l'extérieur les carrés $ABDE$ et $ACFG$ (de sorte que $\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$). Soit $R=R\left(A,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
1. Montrer que $R(E)=B$ et $R(C)=G$.
2. En déduire que $EC=BG$ et que $(EC)\perp(BG)$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 8 ★★★
$ABCD$ est un carré direct de centre $O$ ; $I$, $J$, $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$ et $[CD]$. Soit $R=R\left(O,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
1. Déterminer $R(A)$, $R(B)$, $R(C)$, puis $R(I)$ et $R(J)$.
2. Montrer que le triangle $IOJ$ est rectangle isocèle en $O$.
3. Montrer que $AJ=BK$ et que $(AJ)\perp(BK)$.
Corrections
Correction 1
💡 $M’=R(M)\iff$ deux conditions : $OM’=OM$ et $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM’}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
1. Les diagonales du carré ont même longueur, même milieu $O$ et sont perpendiculaires : $OA=OB$ ✔ et $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ (carré direct) ✔.
$R(A)=B$, $R(B)=C$, $R(C)=D$ et $R(D)=A$
2. La réciproque est $R\left(O,-\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $R(A)=B$.
L'image de $B$ par la réciproque de $R$ est $A$
Correction 2
💡 Construction : cercle de centre $\Omega$ passant par $M$, puis report de l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ dans le sens direct.
1. $M’$ est sur le cercle de centre $\Omega$ passant par $M$, avec $\widehat{M\Omega M’}=\dfrac{\pi}{3}$.
2. $\Omega M’=\Omega M$ : le triangle est isocèle en $\Omega$ ; son angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$, donc ses deux autres angles valent $\dfrac{\pi-\dfrac{\pi}{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}$.
Les trois angles valent $\dfrac{\pi}{3}$ : $\Omega MM’$ est équilatéral
Correction 3
💡 On compare l'angle à $0$ et à $\pi$ modulo $2\pi$.
- $R(\Omega,\pi)$ : $\Omega M’=\Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\pi$ : $\overrightarrow{\Omega M’}=-\overrightarrow{\Omega M}$.
$R(\Omega,\pi)$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ : $\Omega$ est le milieu de $[MM’]$
- $2\pi\equiv0\ [2\pi]$ : $R(\Omega,2\pi)=R(\Omega,0)$.
$R(\Omega,2\pi)$ est l'identité : $M’=M$
Correction 4
💡 Si $R(A)=A’$ et $R(B)=B’$ : $A’B’=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]$.
D'après la propriété caractéristique : $A’B’=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
$A’B’=AB$ et les droites $(AB)$ et $(A’B’)$ sont perpendiculaires
Correction 5
💡 L'image d'un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est l'image du centre ; l'image d'une droite fait l'angle $\theta$ avec elle.
1.
L'image de $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $I’=R(I)$ et de rayon $3$
2. Pour $A,B\in(D)$ : $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$.
$(D)$ et $(D’)$ forment un angle de $\dfrac{\pi}{3}$
Correction 6
💡 Une rotation conserve le milieu : l'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[R(A)R(B)]$.
1. $AC=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$ (équilatéral direct) :
$R(B)=C$
2. $R(A)=A$ et $R(B)=C$, donc $R(I)$ est le milieu de $[AC]$ : $R(I)=J$.
Donc $AJ=AI$ et $\left(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$.
$AIJ$ est un triangle équilatéral (même raisonnement que pour $\Omega MM’$)
Correction 7
💡 On vérifie les deux conditions pour chaque point, puis on applique la propriété caractéristique au segment $[EC]$.
1. $AE=AB$ (côtés d'un carré) et $\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ : $R(E)=B$ ✔.
$AC=AG$ et $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ : $R(C)=G$ ✔.
2. $R$ transforme $[EC]$ en $[BG]$ : $BG=EC$ et $\left(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BG}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
$EC=BG$ et $(EC)\perp(BG)$
Correction 8
💡 Images des sommets, conservation du milieu, puis propriété caractéristique.
1. $R(A)=B$, $R(B)=C$, $R(C)=D$ (carré direct). Conservation du milieu :
$R(I)=J$ et $R(J)=K$
2. $R(I)=J$ : $OJ=OI$ et $\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
$IOJ$ est rectangle isocèle en $O$
3. $R(A)=B$ et $R(J)=K$ : $R$ transforme $[AJ]$ en $[BK]$, donc $BK=AJ$ et $\left(\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{BK}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
$AJ=BK$ et $(AJ)\perp(BK)$