Définition d’une rotation
Définition
Le plan est orienté. Soient $\Omega$ un point du plan et $\theta$ un nombre réel.
La rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\theta$, notée $R(\Omega,\theta)$, est la transformation du plan qui :
- laisse $\Omega$ invariant : $R(\Omega)=\Omega$ ;
- associe à tout point $M\neq\Omega$ le point $M'$ vérifiant les deux conditions :
1. $\Omega M'=\Omega M$
2. $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})\equiv\theta\ [2\pi]$
Remarque Cas particuliers
- $\theta\equiv0\ [2\pi]$ : $R(\Omega,0)$ est l’identité du plan (chaque point est sa propre image).
- $\theta\equiv\pi\ [2\pi]$ : $R(\Omega,\pi)$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
- Si $\theta\not\equiv0\ [2\pi]$, le seul point invariant est le centre $\Omega$.
Méthode Construire $M'=R(M)$
1. On trace le cercle de centre $\Omega$ passant par $M$ (condition 1).
2. On reporte l’angle $\theta$ à partir de $[\Omega M)$, dans le sens direct si $\theta>0$ (condition 2).
Exemple
$ABCD$ est un carré direct de centre $O$ et $R=R\left(O,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
Condition 1 : $OA=OB=OC=OD$ (les diagonales d’un carré ont même longueur et même milieu) ✔.
Condition 2 : les diagonales sont perpendiculaires et le carré est direct, donc $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ ✔.
$R(A)=B$, $R(B)=C$, $R(C)=D$ et $R(D)=A$
Propriété Rotation réciproque
Si $R(\Omega,\theta)(M)=M'$, alors $M=R(\Omega,-\theta)(M')$ : la rotation $R(\Omega,-\theta)$ est la réciproque de $R(\Omega,\theta)$.
Propriétés d’une rotation
Théorème Propriété caractéristique
Soit $R$ une rotation d’angle $\theta$. Si $R(M)=M'$ et $R(N)=N'$, alors :
1. $M'N'=MN$
2. $(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M'N'})\equiv\theta\ [2\pi]$
Propriété Ce que conserve une rotation
- les distances : une rotation est une isométrie ;
- les angles orientés ;
- l’alignement des points ;
- le milieu et le barycentre (avec les mêmes coefficients) ;
- le parallélisme et l’orthogonalité.
Erreur fréquente
- L’angle de la propriété caractéristique est l’angle entre $\overrightarrow{MN}$ et son image $\overrightarrow{M'N'}$, pas $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega N})$.
Images de figures
Propriété
Par une rotation $R$ d’angle $\theta$ :
- l’image d’une droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$, et l’angle entre les deux droites est $\theta$ ;
- l’image d’un segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$, de même longueur ;
- l’image d’un cercle de centre $I$ et de rayon $r$ est le cercle de centre $I'=R(I)$ et de même rayon $r$.
Exemple
$R=R\left(\Omega,\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $(D)$ une droite ne passant pas par $\Omega$. Si $A,B\in(D)$ :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$
$(D)$ et son image $(D')$ forment un angle de $\dfrac{\pi}{3}$
Triangle équilatéral et carré
Propriété
- $ABC$ est un triangle équilatéral direct $\iff C=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)(B)$.
- $ABCD$ est un carré direct de centre $O$ $\iff R\left(O,\dfrac{\pi}{2}\right)$ transforme $A$ en $B$, $B$ en $C$, $C$ en $D$ et $D$ en $A$.
- $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ (direct) $\iff C=R\left(A,\dfrac{\pi}{2}\right)(B)$.
Utilisation des rotations
Méthode
Pour montrer que deux segments ont même longueur, qu’un triangle est isocèle ou équilatéral, ou que des points sont alignés :
1. on cherche une rotation qui transforme une partie de la figure en une autre ;
2. on vérifie les deux conditions pour chaque point ;
3. on conclut avec une propriété de conservation.
Exemple Deux triangles équilatéraux
$ABC$ est un triangle direct. On construit à l’extérieur les triangles équilatéraux $ABE$ et $ACF$. Montrer que $EC=BF$.
Soit $R=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)$.
- $AE=AB$ et $(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$ ($ABE$ équilatéral, à l’extérieur), donc $R(E)=B$ ;
- $AC=AF$ et $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$, donc $R(C)=F$.
$R$ transforme le segment $[EC]$ en $[BF]$ et conserve les distances.
$EC=BF$ (et de plus $(\overrightarrow{EC},\overrightarrow{BF})\equiv\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$)
Exemple Ensemble de points
$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre $I$ et de rayon $r$, et $A$ un point fixe. À tout point $M$ de $(\mathcal{C})$ on associe $N$ tel que $AMN$ soit équilatéral direct. Ensemble des points $N$ ?
$AMN$ équilatéral direct $\iff N=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)(M)$.
Quand $M$ décrit $(\mathcal{C})$, $N$ décrit l’image de $(\mathcal{C})$ par cette rotation.
$N$ décrit le cercle de centre $I'=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)(I)$ et de rayon $r$
Application
$ABCD$ est un carré direct de centre $O$, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. Montrer que $OI=OJ$ et que $(OI)\perp(OJ)$.
Réponse
Avec $R=R\left(O,\dfrac{\pi}{2}\right)$ : $R(A)=B$ et $R(B)=C$.
La rotation conserve le milieu : $R(I)$ est le milieu de $[BC]$, donc $R(I)=J$.
$OJ=OI$ et $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ : $(OI)\perp(OJ)$
À retenir
- $M'=R(\Omega,\theta)(M)$ : $\Omega M'=\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})\equiv\theta\ [2\pi]$.
- Propriété caractéristique : $M'N'=MN$ et $(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M'N'})\equiv\theta\ [2\pi]$.
- Une rotation conserve distances, angles, alignement, milieu, parallélisme et orthogonalité.
- Équilatéral direct : $C=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)(B)$ ; carré direct : rotation d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ autour du centre.