Définition
Définition Rotation $R(\Omega,\theta)$
- $R(\Omega)=\Omega$ (le centre est invariant).
- Pour $M\neq\Omega$ : $M’=R(M)\iff$ deux conditions :
$\Omega M’=\Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]$
Propriété Cas particuliers et réciproque
- $\theta\equiv0\ [2\pi]$ : identité ; $\theta\equiv\pi\ [2\pi]$ : symétrie centrale de centre $\Omega$.
- La rotation réciproque de $R(\Omega,\theta)$ est $R(\Omega,-\theta)$.
Propriété caractéristique
Propriété Conservation
- Si $A’=R(A)$ et $B’=R(B)$ :
$A’B’=AB$ et $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]$
- La rotation conserve les distances, les angles orientés, l'alignement, le milieu et le parallélisme.
Images de figures
Propriété Images
- Une droite ⇒ une droite ; un segment ⇒ un segment de même longueur.
- Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ ⇒ le cercle de centre $R(O)$ et de même rayon $r$.
- Si $\theta\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$ : une droite et son image sont perpendiculaires.
Applications
Méthode Méthodes
- Triangle équilatéral direct $ABC$ : $C=R\left(A,\dfrac{\pi}{3}\right)(B)$.
- Carré direct $ABCD$ de centre $O$ : $R\left(O,\dfrac{\pi}{2}\right)$ transforme $A$ en $B$, $B$ en $C$…
- Pour montrer $AB=CD$ ou $(AB)\perp(CD)$ : trouver une rotation qui envoie $[AB]$ sur $[CD]$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier l'une des deux conditions de la définition.
- Se tromper de sens : l'angle est orienté de $\overrightarrow{\Omega M}$ vers $\overrightarrow{\Omega M’}$.
À retenir À retenir
- Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles orientés.