Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Expression analytique (§ II). Le plan est rapporté à un repère orthonormé. $A(1;1)$, $B(4;2)$ et $C(2;4)$.
1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, $AB$ et $AC$.
2. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? isocèle en $A$ ?
3. En déduire $\cos\widehat{BAC}$.
Exercice 2 ★
Angles et déterminant (§ III). Repère orthonormé direct. $\vec{u}(2;1)$ et $\vec{v}(-1;3)$.
1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, $\det(\vec{u},\vec{v})$, $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
2. En déduire $\cos(\vec{u},\vec{v})$ et $\sin(\vec{u},\vec{v})$.
3. Calculer l'aire du triangle $OAB$ où $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{OB}=\vec{v}$.
Exercice 3 ★
Équation d'une droite (§ IV). Repère orthonormé.
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(2;-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3;-2)$.
2. Déterminer une équation de la droite $(D’)$ passant par $B(1;3)$ et perpendiculaire à $(D)$.
Exercice 4 ★
Distance d'un point à une droite (§ V). Repère orthonormé. Calculer la distance du point $A(1;-2)$ à la droite $(D):3x+4y-5=0$.
Exercice 5 ★
Nature d'un ensemble (§ VI.3). Déterminer la nature des ensembles :
$(E_1):x^2+y^2-6x+2y+6=0$ et $(E_2):x^2+y^2+4x+5=0$.
Exercice 6 ★
Cercle de diamètre donné (§ VI.2). $A(-1;2)$ et $B(3;0)$. Déterminer une équation du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AB]$, son centre et son rayon.
Exercice 7 ★
Position droite–cercle (§ VII). $(\mathcal{C}):x^2+y^2-2x-4y-4=0$, $(D):x+y-6=0$ et $(\Delta):4x-3y+17=0$.
Étudier la position de $(D)$ et de $(\Delta)$ par rapport à $(\mathcal{C})$.
Exercice 8 ★
Tangente (§ VIII). $(\mathcal{C}):(x-1)^2+(y+2)^2=10$ et $A(2;1)$.
Vérifier que $A\in(\mathcal{C})$ puis déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ en $A$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 9 ★★
$A(-2;1)$, $B(2;3)$ et $C(4;-1)$ dans un repère orthonormé.
1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
2. En déduire le centre $\Omega$, le rayon et une équation du cercle circonscrit à $ABC$.
3. Déterminer une équation de la tangente à ce cercle en $B$.
Exercice 10 ★★
Orthocentre. $A(1;3)$, $B(-1;-1)$ et $C(5;2)$ dans un repère orthonormé.
1. Déterminer une équation de la hauteur issue de $A$ et de la hauteur issue de $B$.
2. En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$, puis vérifier que $H$ est sur la hauteur issue de $C$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 11 ★★★
$(\mathcal{C}):x^2+y^2-4x+2y-20=0$ et $A(5;3)$, dans un repère orthonormé.
1. Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $(\mathcal{C})$.
2. Vérifier que $A\in(\mathcal{C})$ et déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $A$.
3. Étudier la position de la droite $(D):3x-4y+5=0$ par rapport à $(\mathcal{C})$.
4. Donner une représentation paramétrique de $(\mathcal{C})$.
Exercice 12 ★★★
$A(1;0)$ et $B(-1;2)$ dans un repère orthonormé.
1. Déterminer une équation de la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[AB]$.
2. Soit $\Omega$ le point de $(\Delta)$ d'ordonnée $0$. Déterminer $\Omega$, puis une équation du cercle de centre $\Omega$ passant par $A$ et $B$.
3. Calculer la distance du point $O$ à la droite $(AB)$.
Corrections
Correction 1
💡 Repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’$ et $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$ ; $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})$.
1. $\overrightarrow{AB}(3;1)$ et $\overrightarrow{AC}(1;3)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times1+1\times3=6$
$AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ et $AC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
2. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\neq0$ : pas rectangle en $A$ ; $AB=AC$ :
$ABC$ est isocèle en $A$ (non rectangle)
3. $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{6}{10}$
$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{3}{5}$
Correction 2
💡 $\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$, $\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ et $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}|\det|$.
1. $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times(-1)+1\times3=1$
$\det(\vec{u},\vec{v})=2\times3-(-1)\times1=7$
$\|\vec{u}\|=\sqrt{5}$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{10}$, donc $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
2. $\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{1}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ et $\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{7}{5\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$
$\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ ; $\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$
3.
$\mathcal{A}_{OAB}=\dfrac{1}{2}\times|7|=\dfrac{7}{2}$
Correction 3
💡 $M\in(D)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ ; une droite perpendiculaire à $(D)$ a pour vecteur normal un vecteur directeur de $(D)$.
1. $M(x;y)\in(D)\iff3(x-2)-2(y+1)=0$
$\iff3x-2y-8=0$
$(D):\ 3x-2y-8=0$
2. $(D)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(2;3)$, qui est donc normal à $(D’)$.
$M(x;y)\in(D’)\iff2(x-1)+3(y-3)=0$
$\iff2x+3y-11=0$
$(D’):\ 2x+3y-11=0$ (vérification : $3\times2+(-2)\times3=0$ ✔)
Correction 4
💡 $d(A,(D))=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
$d(A,(D))=\dfrac{|3\times1+4\times(-2)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}$
$=\dfrac{|-10|}{5}$
$d(A,(D))=2$
Correction 5
💡 On fait apparaître des carrés (forme canonique), puis on regarde le signe du second membre.
$(E_1)$ : $x^2-6x=(x-3)^2-9$ et $y^2+2y=(y+1)^2-1$.
$(x-3)^2-9+(y+1)^2-1+6=0\iff(x-3)^2+(y+1)^2=4$
$4>0$ : $(E_1)$ est le cercle de centre $\Omega(3;-1)$ et de rayon $2$
$(E_2)$ : $(x+2)^2-4+y^2+5=0\iff(x+2)^2+y^2=-1$
[!] Une somme de carrés n'est jamais négative : $(E_2)=\emptyset$
Correction 6
💡 $M\in(\mathcal{C})\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
$(x+1)(x-3)+(y-2)(y-0)=0$
$\iff x^2-2x-3+y^2-2y=0$
$(\mathcal{C}):\ x^2+y^2-2x-2y-3=0$
$\iff(x-1)^2+(y-1)^2=5$
Centre $\Omega(1;1)$ (milieu de $[AB]$) et rayon $r=\sqrt{5}$
Correction 7
💡 On calcule le centre $\Omega$ et le rayon $r$, puis on compare $d(\Omega,(D))$ à $r$.
$(x-1)^2+(y-2)^2=1+4+4=9$ : $\Omega(1;2)$ et $r=3$.
$d(\Omega,(D))=\dfrac{|1+2-6|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\approx2{,}12<3$
$(D)$ coupe $(\mathcal{C})$ en deux points
$d(\Omega,(\Delta))=\dfrac{|4-6+17|}{\sqrt{16+9}}=\dfrac{15}{5}=3=r$
$(\Delta)$ est tangente à $(\mathcal{C})$
Correction 8
💡 La tangente en $A$ passe par $A$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$.
$(2-1)^2+(1+2)^2=1+9=10$ ✔ : $A\in(\mathcal{C})$. Centre $\Omega(1;-2)$, $\overrightarrow{\Omega A}(1;3)$.
$M(x;y)\in(T)\iff1\times(x-2)+3(y-1)=0$
$\iff x+3y-5=0$
$(T):\ x+3y-5=0$
Correction 9
💡 Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.
1. $\overrightarrow{BA}(-4;-2)$ et $\overrightarrow{BC}(2;-4)$ : $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-8+8=0$.
$(BA)\perp(BC)$ : $ABC$ est rectangle en $B$
2. Le centre est le milieu de $[AC]$ : $\Omega(1;0)$ ; $AC=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$, donc $r=\dfrac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10}$.
$(\mathcal{C}):\ (x-1)^2+y^2=10$ (vérification avec $B$ : $1+9=10$ ✔)
3. $\overrightarrow{\Omega B}(1;3)$ : $M\in(T)\iff(x-2)+3(y-3)=0$
$(T):\ x+3y-11=0$
Correction 10
💡 La hauteur issue de $A$ passe par $A$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{BC}$.
1. $\overrightarrow{BC}(6;3)$ : $6(x-1)+3(y-3)=0\iff2x+y-5=0$.
$\overrightarrow{AC}(4;-1)$ : $4(x+1)-(y+1)=0\iff4x-y+3=0$.
Hauteurs : $2x+y-5=0$ et $4x-y+3=0$
2. $\begin{cases}2x+y=5\\4x-y=-3\end{cases}$ : en additionnant, $6x=2$, donc $x=\dfrac{1}{3}$ et $y=5-\dfrac{2}{3}=\dfrac{13}{3}$.
$H\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{13}{3}\right)$
Hauteur issue de $C$ : $\overrightarrow{AB}(-2;-4)$ normal : $-2(x-5)-4(y-2)=0\iff x+2y-9=0$ ; et $\dfrac{1}{3}+\dfrac{26}{3}=9$ ✔.
Correction 11
💡 Forme canonique ; tangente : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$ ; position : comparer $d(\Omega,(D))$ et $r$.
1. $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1-20=0\iff(x-2)^2+(y+1)^2=25$
$\Omega(2;-1)$ et $r=5$
2. $(5-2)^2+(3+1)^2=9+16=25$ ✔. $\overrightarrow{\Omega A}(3;4)$ : $3(x-5)+4(y-3)=0$
$(T):\ 3x+4y-27=0$
3. $d(\Omega,(D))=\dfrac{|3\times2-4\times(-1)+5|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{15}{5}=3<5$
$(D)$ coupe $(\mathcal{C})$ en deux points
4.
$\begin{cases}x=2+5\cos\theta\\y=-1+5\sin\theta\end{cases}\quad(\theta\in\mathbb{R})$
Correction 12
💡 La médiatrice passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}$.
1. $I(0;1)$ et $\overrightarrow{AB}(-2;2)$ : $-2(x-0)+2(y-1)=0\iff-x+y-1=0$
$(\Delta):\ x-y+1=0$
2. $y=0$ dans $(\Delta)$ : $x+1=0$, donc $\Omega(-1;0)$ ; $r=\Omega A=\sqrt{4+0}=2$.
$(x+1)^2+y^2=4$ (vérification avec $B$ : $0+4=4$ ✔)
3. $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(-2;2)$, donc pour vecteur normal $(1;1)$ : $(AB):x+y-1=0$.
$d(O,(AB))=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$