خطاطة ذهنية «Produit scalaire : étude analytique et applications (le cercle)» لتلاميذ الأولى باك علوم تجريبية بالفرنسية والعربية: Repère orthonormé, droites et cercles. Carte mentale Produit scalaire : étude analytique et applications (le cercle) — 1ère année Bac sciences expérimentales.
À retenir : tangente en $A$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$
Expression analytique
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’$
- $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx’+yy’=0$
Angles
- $\cos=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$
- $\sin=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$
- Aire : $\dfrac{1}{2}|\det|$
Droites
$ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a;b)$ normal
- $\vec{u}(-b;a)$ directeur
- $\perp\iff aa’+bb’=0$
Distance
$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cercle
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- Diamètre : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- $x=a+r\cos\theta$, $y=b+r\sin\theta$
Étude de l’ensemble
- Forme canonique $=k$
- $k>0$ cercle, $k=0$ point
[!] $k<0$ : vide
Droite et cercle
- $d>r$ : 0 point
- $d=r$ : tangente
- $d<r$ : 2 points
Tangente
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$
أحفظ : المماس في $A$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$
الصيغة التحليلية
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’$
- $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx’+yy’=0$
الزوايا
- $\cos=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$
- $\sin=\dfrac{\det(\vec{u},\vec{v})}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$
- المساحة : $\dfrac{1}{2}|\det|$
المستقيمات
$ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a;b)$ منظمية
- $\vec{u}(-b;a)$ موجهة
- $\perp\iff aa’+bb’=0$
المسافة
$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
الدائرة
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- القطر : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- $x=a+r\cos\theta$، $y=b+r\sin\theta$
دراسة المجموعة
- الشكل النموذجي $=k$
- $k>0$ دائرة، $k=0$ نقطة
[!] $k<0$ : فارغة
مستقيم ودائرة
- $d>r$ : 0 نقطة
- $d=r$ : مماس
- $d<r$ : نقطتان
المماس
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$