Rappels sur le produit scalaire
Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan.
- Si $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $\vec{v}\neq\vec{0}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\vec{u},\vec{v})$.
- Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Propriété Projection orthogonale
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ :
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$
- $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ de même sens : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ ;
- de sens contraires : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$.
Propriété Règles de calcul
- $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ et $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$ ;
- $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ et $(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ ;
- $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$ ;
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Expression analytique du produit scalaire
Propriété
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$
- Norme : $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
- Distance : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
- Orthogonalité : $\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx'+yy'=0$.
Remarque
[!] Ces formules ne sont valables que dans un repère orthonormé.
Exemple
$A(1;2)$, $B(3;-2)$ et $C(5;3)$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis la nature du triangle $ABC$.
$\overrightarrow{AB}(2;-4)$ et $\overrightarrow{AC}(4;1)$
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+(-4)\times1$
$=8-4=4$
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4$
$\overrightarrow{BA}(-2;4)$ et $\overrightarrow{BC}(2;5)$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-4+20=16\neq0$
$\overrightarrow{CA}(-4;-1)$ et $\overrightarrow{CB}(-2;-5)$
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=8+5=13\neq0$
Aucun produit scalaire n’est nul : $ABC$ n’est rectangle en aucun sommet
Application
Soient $A(-1;1)$, $B(2;5)$ et $C(6;2)$. Montrer que $ABC$ est rectangle et isocèle en $B$.
Réponse
$\overrightarrow{BA}(-3;-4)$ et $\overrightarrow{BC}(4;-3)$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-12+12=0$
donc $(BA)\perp(BC)$ ✔.
$BA=\sqrt{9+16}=5$ et $BC=\sqrt{16+9}=5$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ et $BA=BC$ : $ABC$ est rectangle isocèle en $B$
Cosinus et sinus d’un angle orienté — Déterminant
Définition Déterminant de deux vecteurs
Soient $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel :
$\det(\vec{u},\vec{v})=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y$
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff\det(\vec{u},\vec{v})=0$.
Propriété
Dans un repère orthonormé direct, pour $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ non nuls :
$\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{xx'+yy'}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$ et $\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{xy'-x'y}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$
Aire d’un triangle : $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$.
Méthode Déterminer une mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$
1. On calcule $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $\det(\vec{u},\vec{v})$.
2. On en déduit $\cos(\vec{u},\vec{v})$ et $\sin(\vec{u},\vec{v})$ : il faut les deux pour connaître l’angle orienté.
Exemple
$\vec{u}(1;1)$ et $\vec{v}(0;2)$.
$\|\vec{u}\|=\sqrt{2}$ et $\|\vec{v}\|=2$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0+2=2$ et $\det(\vec{u},\vec{v})=1\times2-0\times1=2$
$\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$(\vec{u},\vec{v})\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$
Exemple Aire d’un triangle
$A(1;2)$, $B(3;-2)$, $C(5;3)$ : $\overrightarrow{AB}(2;-4)$ et $\overrightarrow{AC}(4;1)$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\times1-4\times(-4)$
$=2+16=18$
$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times18=9$
Vecteur normal — Équation cartésienne d’une droite
Définition
Soit $(D)$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$. Un vecteur $\vec{n}\neq\vec{0}$ est normal à $(D)$ s’il est orthogonal à $\vec{u}$.
Propriété
- La droite passant par $A(x_0;y_0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$, soit :
$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$
- Réciproquement, la droite $(D):ax+by+c=0$ admet $\vec{n}(a;b)$ comme vecteur normal et $\vec{u}(-b;a)$ comme vecteur directeur.
- $(D):ax+by+c=0$ et $(D'):a'x+b'y+c'=0$ sont perpendiculaires $\iff aa'+bb'=0$.
Méthode Équation d’une droite
- On connaît un point et un vecteur normal ⇒ $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$.
- Droite perpendiculaire à $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal.
Exemple Hauteur d’un triangle
$A(1;2)$, $B(3;-2)$, $C(5;3)$. Déterminer une équation de la hauteur $(\Delta)$ issue de $A$.
$(\Delta)$ passe par $A$ et est perpendiculaire à $(BC)$ : $\overrightarrow{BC}(2;5)$ est normal à $(\Delta)$.
$M(x;y)\in(\Delta)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=0$
$\iff2(x-1)+5(y-2)=0$
$\iff2x+5y-12=0$
$(\Delta):2x+5y-12=0$
Erreur fréquente
- Pour $ax+by+c=0$ : $(a;b)$ est un vecteur normal, pas directeur ! Le vecteur directeur est $(-b;a)$.
Distance d’un point à une droite
Théorème
Dans un repère orthonormé, la distance du point $A(x_0;y_0)$ à la droite $(D):ax+by+c=0$ est :
$d(A,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
>> C’est la longueur $AH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$.
Exemple
Distance de $A(3;1)$ à $(D):4x-3y+1=0$, puis aire du triangle $ABC$ avec $B(-1;-1)$ et $C(2;3)$ sur $(D)$.
$d(A,(D))=\dfrac{|4\times3-3\times1+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}$
$=\dfrac{10}{5}=2$
$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$d(A,(D))=2$ et $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\times5\times2=5$
Le cercle
Équation cartésienne d’un cercle
Propriété
Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $r>0$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\Omega M=r$ ; son équation est :
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
En développant : $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec $c=a^2+b^2-r^2$.
Exemple
Cercle de centre $\Omega(2;-1)$ et de rayon $3$ :
$(x-2)^2+(y+1)^2=9$
$\iff x^2-4x+4+y^2+2y+1=9$
$x^2+y^2-4x+2y-4=0$
Cercle de diamètre $[AB]$
Propriété
$M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ :
$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$
Exemple
$A(1;1)$ et $B(5;3)$ : cercle de diamètre $[AB]$.
$(x-1)(x-5)+(y-1)(y-3)=0$
$\iff x^2-6x+5+y^2-4y+3=0$
$\iff x^2+y^2-6x-4y+8=0$
Centre $\Omega(3;2)$ (milieu de $[AB]$) et rayon $r=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}$
Étude de l’ensemble $x^2+y^2+ax+by+c=0$
Méthode
1. On regroupe et on fait apparaître des carrés (forme canonique) :
$x^2+y^2+ax+by+c=0\iff\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2-4c}{4}$
2. On conclut selon le signe de $k=\dfrac{a^2+b^2-4c}{4}$ :
- $k>0$ : cercle de centre $\Omega\left(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2}\right)$ et de rayon $\sqrt{k}$ ;
- $k=0$ : le point $\Omega$ ;
- $k<0$ : l’ensemble vide.
Exemple Un cercle
$(E_1):x^2+y^2-2x+4y-4=0$
$\iff(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0$
$\iff(x-1)^2+(y+2)^2=9$
$9>0$ : $(E_1)$ est le cercle de centre $\Omega(1;-2)$ et de rayon $3$
Exemple Un point
$(E_2):x^2+y^2+6x-2y+10=0$
$\iff(x+3)^2-9+(y-1)^2-1+10=0$
$\iff(x+3)^2+(y-1)^2=0$
$(E_2)$ est réduit au point $\Omega(-3;1)$
Exemple L’ensemble vide
$(E_3):x^2+y^2-4x+5=0$
$\iff(x-2)^2-4+y^2+5=0$
$\iff(x-2)^2+y^2=-1$
Un carré ne peut pas être négatif : $(E_3)=\emptyset$
Erreur fréquente
- Le centre de $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ est $(1;-2)$ et non $(-1;2)$ : attention aux signes.
- Ne jamais conclure « cercle » sans avoir vérifié que le second membre est strictement positif.
Représentation paramétrique d’un cercle
Propriété
Le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que :
$\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\quad(\theta\in\mathbb{R})$
Exemple
L’ensemble des points $M(1+2\cos\theta;-3+2\sin\theta)$, $\theta\in\mathbb{R}$ :
Le cercle de centre $\Omega(1;-3)$ et de rayon $2$
Intérieur et extérieur d’un cercle
Propriété
Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre $\Omega(a;b)$ et de rayon $r$, et $M(x;y)$ :
- $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2\iff\Omega M<r$ : $M$ est à l’intérieur de $(\mathcal{C})$ ;
- $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2\iff\Omega M>r$ : $M$ est à l’extérieur de $(\mathcal{C})$.
Exemple
Représenter l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-4x\leq0$ et $y\geq0$.
$x^2+y^2-4x\leq0\iff(x-2)^2+y^2\leq4$
C’est le disque de centre $\Omega(2;0)$ et de rayon $2$ ; avec $y\geq0$ on garde la partie au-dessus de l’axe des abscisses.
L’ensemble est le demi-disque supérieur de centre $\Omega(2;0)$ et de rayon $2$
Position relative d’une droite et d’un cercle
Propriété
Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$, $(D)$ une droite et $d=d(\Omega,(D))$ :
- $d>r$ : $(D)$ et $(\mathcal{C})$ n’ont aucun point commun ;
- $d=r$ : $(D)$ est tangente à $(\mathcal{C})$ (un seul point commun) ;
- $d<r$ : $(D)$ coupe $(\mathcal{C})$ en deux points.
Méthode
1. On détermine le centre $\Omega$ et le rayon $r$ du cercle.
2. On calcule $d=d(\Omega,(D))$ avec la formule de la distance.
3. On compare $d$ et $r$.
>> Pour les points d’intersection, on résout le système formé par les deux équations.
Exemple
$(\mathcal{C}):(x-1)^2+(y-1)^2=5$ et $(D):x+2y-8=0$.
Centre $\Omega(1;1)$ et rayon $r=\sqrt{5}$.
$d(\Omega,(D))=\dfrac{|1+2-8|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
$=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
$d=r$ : $(D)$ est tangente à $(\mathcal{C})$
Tangente à un cercle en un point
Propriété
La tangente $(T)$ au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega$ en un point $A$ de $(\mathcal{C})$ est la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}$ :
$M\in(T)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$
Exemple
Vérifier que $A(3;2)$ appartient à $(\mathcal{C}):(x-1)^2+(y-1)^2=5$, puis déterminer la tangente en $A$.
$(3-1)^2+(2-1)^2=4+1=5$
donc $A\in(\mathcal{C})$ ✔. Le centre est $\Omega(1;1)$ et $\overrightarrow{\Omega A}(2;1)$.
$M(x;y)\in(T)\iff2(x-3)+1\times(y-2)=0$
$\iff2x+y-8=0$
$(T):2x+y-8=0$
Erreur fréquente
- Le vecteur normal de la tangente en $A$ est $\overrightarrow{\Omega A}$ (le rayon), pas un vecteur directeur.
- Vérifier d’abord que $A$ est sur le cercle.
À retenir
- Repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ ; $\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx'+yy'=0$.
- $ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a;b)$ normal, $\vec{u}(-b;a)$ directeur ; $d(A,(D))=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
- Cercle : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ; pour $x^2+y^2+ax+by+c=0$, forme canonique puis signe du second membre.
- Droite et cercle : comparer $d(\Omega,(D))$ et $r$ ; tangente en $A$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$.