Produit scalaire dans un repère orthonormé
Formules Formules
$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx’+yy’$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$ ; $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
- $\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx’+yy’=0$.
- $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\vec{u},\vec{v})$ ; projeté : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
Angles et déterminant
Formules Formules
$\det(\vec{u},\vec{v})=xy’-x’y$ ; $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff\det(\vec{u},\vec{v})=0$
- $\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{xx’+yy’}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ ; $\sin(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{xy’-x’y}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$.
- Aire : $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$.
Droites
Propriété Équation cartésienne
- $M\in(D)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ : $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
$(D):ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a;b)$ normal, $\vec{u}(-b;a)$ directeur
- $(D)\perp(D’)\iff aa’+bb’=0$.
- Distance : $d(A,(D))=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Le cercle
Propriété Équations
$(\mathcal{C}):(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ (centre $\Omega(a;b)$, rayon $r$)
- Diamètre $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
- Paramétrique : $x=a+r\cos\theta$, $y=b+r\sin\theta$.
- Intérieur : $\Omega M<r$ ; extérieur : $\Omega M>r$.
Méthode Étude de $x^2+y^2+ax+by+c=0$
- Forme canonique : $\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2=k$.
- $k>0$ : cercle ; $k=0$ : un point ; $k<0$ : ensemble vide.
Droite et cercle — Tangente
Propriété Position relative ($d=d(\Omega,(D))$)
- $d>r$ : aucun point commun ; $d=r$ : $(D)$ tangente ; $d<r$ : deux points.
Tangente en $A$ : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A}=0$
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- $(a;b)$ est normal à $ax+by+c=0$, pas directeur.
- Le centre de $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ est $(1;-2)$ : attention aux signes.
À retenir À retenir
- Orthogonalité : produit scalaire nul ; colinéarité : déterminant nul.
- Droite–cercle : on compare $d(\Omega,(D))$ et $r$.