Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Calcul direct (§ I.2). Calculer : $\lim\limits_{x\to2}(x^3-2x+1)$ ; $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{2x+3}{x^2+1}$ ; $\lim\limits_{x\to3}\sqrt{x+1}$.
Exercice 2 ★
Limite à droite et à gauche (§ I.3). Soit $f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}$. Étudier la limite de $f$ en $2$.
Exercice 3 ★
Limite infinie (§ II). Calculer $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{2x+1}{x-1}$ et $\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{2x+1}{x-1}$, puis interpréter.
Exercice 4 ★
Limites à l'infini (§ III). Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(5-\dfrac{3}{x^2}\right)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2-\dfrac{1}{x}\right)$. Interpréter la première.
Exercice 5 ★
Polynômes et rationnelles en $\pm\infty$ (§ V). Calculer :
$\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x^3+x-7)$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-x}{2x^2+3}$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+5}{x^2-1}$.
Exercice 6 ★
Forme « $\dfrac{0}{0}$ » (§ V). Calculer $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-x-6}$.
Exercice 7 ★
Expression conjuguée (§ VI). Calculer $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$.
Exercice 8 ★
Limites et ordre (§ VII). Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x^2}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+\sin x)$.
Exercice 9 ★
Limites trigonométriques (§ VIII). Calculer :
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{\sin3x}$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
Soit $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$.
1. Déterminer $D_f$.
2. Calculer $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$ et interpréter.
3. Calculer $\lim\limits_{x\to2}f(x)$.
4. Calculer $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$, puis interpréter.
Corrections
Correction 1
💡 Calcul direct (substitution) : polynôme, rationnelle définie en $a$, racine : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.
$\lim\limits_{x\to2}(x^3-2x+1)=8-4+1=5$
$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{2x+3}{x^2+1}=\dfrac{-2+3}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ (dénominateur non nul)
$\lim\limits_{x\to3}\sqrt{x+1}=\sqrt{4}=2$
Correction 2
💡 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existe $\iff$ les limites à droite et à gauche existent et sont égales.
- Si $x>2$ : $|x-2|=x-2$, donc $f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=1$ ;
- si $x<2$ : $|x-2|=-(x-2)$, donc $f(x)=-1$ et $\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-1$.
$1\neq-1$ : $f$ n'a pas de limite en $2$
Correction 3
💡 Calcul direct : « $\dfrac{3}{0}$ » n'est pas une forme indéterminée : on étudie le signe du dénominateur.
$\lim\limits_{x\to1}(2x+1)=3$ et $\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0$.
- $x>1$ : $x-1>0$, donc $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty$ ;
- $x<1$ : $x-1<0$, donc $\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty$.
La droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe
Correction 4
💡 Limites usuelles : $\dfrac{1}{x^n}\to0$ et $x^2\to+\infty$ en $\pm\infty$ ; puis opérations (somme).
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(5-\dfrac{3}{x^2}\right)=5$ (somme).
La droite $y=5$ est une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$
$\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$ :
$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2-\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$ (somme)
Correction 5
💡 Propriété du cours : en $\pm\infty$, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, une fonction rationnelle celle du quotient des termes de plus haut degré.
$\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x^3+x-7)=\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x^3)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-x}{2x^2+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2}{2x^2}=2$
$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+5}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$
Correction 6
💡 Calcul direct : $\dfrac{9-9}{9-3-6}$ : forme « $\dfrac{0}{0}$ ».
Comment lever une forme indéterminée ?
- polynôme ou fonction rationnelle en $\pm\infty$ : terme(s) de plus haut degré ;
- « $\dfrac{0}{0}$ » en $a$ (fonction rationnelle) : factoriser par $(x-a)$ ;
- racine carrée : expression conjuguée ;
- fonctions trigonométriques en $0$ : limites usuelles.
Ici : $3$ est racine du numérateur et du dénominateur : on factorise par $(x-3)$.
$\dfrac{x^2-9}{x^2-x-6}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{x+3}{x+2}$
$\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x^2-x-6}=\dfrac{6}{5}$
Correction 7
💡 Calcul direct : « $\dfrac{0}{0}$ » puis « $+\infty-\infty$ » ; ici : racine carrée ⇒ conjugué, $(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$.
$\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{4}$
$\sqrt{x^2+3x}-x=\dfrac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{3x}{x\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}+x}=\dfrac{3}{\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}+1}$ (pour $x>0$)
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\dfrac{3}{2}$
Correction 8
💡 $\cos x$ et $\sin x$ n'ont pas de limite en $+\infty$ : on encadre avec $-1\leq\cos x\leq1$ (théorèmes de comparaison).
$\left|\dfrac{\cos x}{x^2}\right|\leq\dfrac{1}{x^2}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x^2}=0$
$2x+\sin x\geq2x-1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to+\infty}(2x+\sin x)=+\infty$
Correction 9
💡 Calcul direct : « $\dfrac{0}{0}$ » ; on fait apparaître les trois limites usuelles ($X=ax$) en nommant chaque opération.
$\dfrac{\sin5x}{2x}=\dfrac{5}{2}\times\dfrac{\sin5x}{5x}$ ; avec $X=5x$ : $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\sin X}{X}=1$ (usuelle).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}=\dfrac{5}{2}$ (produit)
$\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos2x}{(2x)^2}$ ; avec $X=2x$ : $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{1-\cos X}{X^2}=\dfrac{1}{2}$ (usuelle).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1}{2}=2$ (produit)
$\dfrac{\tan x}{\sin3x}=\dfrac{\dfrac{\tan x}{x}}{3\times\dfrac{\sin3x}{3x}}$ : numérateur $\to1$, dénominateur $\to3\times1=3$ (usuelles, produit).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{\sin3x}=\dfrac{1}{3}$ (quotient)
Correction 10
💡 On factorise d'abord : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
1. $x\in D_f\iff(x-1)(x-2)\neq0\iff x\neq1$ et $x\neq2$
$D_f=\mathbb{R}-\{1;2\}$
2. Propriété du cours : $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=1$
La droite $y=1$ est asymptote horizontale au voisinage de $\pm\infty$
3. Calcul direct : « $\dfrac{0}{0}$ » ; on factorise par $(x-2)$ : $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ pour $x\neq2$.
$\lim\limits_{x\to2}f(x)=\dfrac{4}{1}=4$
4. Calcul direct en $1$ : numérateur $\to-3$, dénominateur $\to0$ : forme « $\dfrac{-3}{0}$ », pas une F.I.
Au voisinage de $1$ : $x-2<0$ ; si $x>1$, $(x-1)(x-2)<0$ ; si $x<1$, $(x-1)(x-2)>0$.
$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ : la droite $x=1$ est asymptote verticale