Limite en un point
Méthode Calcul direct
On commence toujours par remplacer $x$ par $a$
- Fonction polynôme, rationnelle ou racine définie en $a$ : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\ell$.
Propriété Limite infinie
- Forme « $\dfrac{\ell}{0}$ » ($\ell\neq0$) : limite infinie ⇒ on étudie le signe du dénominateur.
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ⇒ la droite $x=a$ est asymptote verticale.
Limites à l'infini
Formules Limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ ⇒ $y=\ell$ asymptote horizontale.
Propriété Polynômes et rationnelles en $\pm\infty$
Limite du terme de plus haut degré (polynôme), quotient des termes de plus haut degré (rationnelle)
Formes indéterminées
Méthode Comment lever une forme indéterminée ?
- Formes : $\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac{0}{0}$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- « $\dfrac{0}{0}$ » avec des polynômes : factoriser par $(x-a)$ puis simplifier.
- Racine carrée : multiplier par l'expression conjuguée.
- Racine devant un terme dominant : factoriser par le terme dominant.
Limites et ordre
Propriété Comparaison
- $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ et $\lim g=0$ ⇒ $\lim f=\ell$.
- $f\geq g$ et $\lim g=+\infty$ ⇒ $\lim f=+\infty$.
Limites trigonométriques
Formules Les trois limites usuelles
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
- Pour $\sin(ax)$ : on pose $X=ax$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire « $\dfrac{\ell}{0}=\infty$ » sans étudier le signe du dénominateur.
- Factoriser un polynôme en $\pm\infty$ au lieu d'utiliser la propriété du cours.
À retenir À retenir
- D'abord le calcul direct ; seulement si on obtient une forme indéterminée, on choisit une méthode.
- Chaque étape se justifie : somme, produit, quotient, limite usuelle.