Limite finie en un point
Notion de limite — Limites usuelles en $0$
Définition
Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$). On dit que $f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ si $f(x)$ devient aussi proche de $\ell$ que l’on veut dès que $x$ est assez proche de $a$.
On écrit $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$ ; si elle existe, cette limite est unique.
Propriété : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim\limits_{x\to a}\big(f(x)-\ell\big)=0$.
Propriété Limites usuelles en $0$
- Pour $n\in\mathbb{N}^*$ : $\lim\limits_{x\to0}x^n=0$ ;
- $\lim\limits_{x\to0^+}\sqrt{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to0}|x|=0$.
Calcul direct (par substitution)
Propriété
Si $f$ est une fonction polynôme, une fonction rationnelle définie en $a$, ou $\sqrt{u}$ avec $u(a)\geq0$ ($u$ polynôme), alors :
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
De même : $\lim\limits_{x\to a}\sin x=\sin a$, $\lim\limits_{x\to a}\cos x=\cos a$ et $\lim\limits_{x\to a}\tan x=\tan a$ (pour $a\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$).
>> Toujours commencer par le calcul direct : on remplace $x$ par $a$. Si on obtient un nombre, c’est la limite.
Exemple
$\lim\limits_{x\to2}(3x^2-x+1)=3\times4-2+1=11$
$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2+3}{x-1}=\dfrac{1+3}{-1-1}=-2$ (le dénominateur ne s’annule pas en $-1$)
$\lim\limits_{x\to4}\sqrt{x+5}=\sqrt{9}=3$
Limite à droite et à gauche
Définition
- À droite de $a$ ($x\to a^+$, avec $x>a$) : $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ ;
- À gauche de $a$ ($x\to a^-$, avec $x<a$) : $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$.
Propriété
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell\iff\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\ell$
Exemple Pas de limite en $0$
$f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ pour $x\neq0$.
- Si $x>0$ : $|x|=x$, donc $f(x)=1$ et $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1$ ;
- si $x<0$ : $|x|=-x$, donc $f(x)=-1$ et $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-1$.
Les limites à droite et à gauche sont différentes : $f$ n’a pas de limite en $0$
Limite infinie en un point
Propriété Limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$ ;
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ ;
- $n$ pair : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{x^n}=+\infty$ ; $n$ impair : $+\infty$ à droite et $-\infty$ à gauche.
Définition Asymptote verticale
Si $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ ou $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$, la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.
Méthode Forme « $\dfrac{\ell}{0}$ » avec $\ell\neq0$
Ce n’est pas une forme indéterminée : la limite est $+\infty$ ou $-\infty$.
1. On calcule la limite du numérateur ($\ell\neq0$).
2. On étudie le signe du dénominateur à droite et à gauche de $a$ (tableau de signes).
3. On applique la règle des signes.
Exemple
$f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ : limites en $1$.
Calcul direct : $\lim\limits_{x\to1}(x+2)=3$ et $\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0$ : forme « $\dfrac{3}{0}$ ».
- Si $x>1$ : $x-1>0$, donc $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ ;
- si $x<1$ : $x-1<0$, donc $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$.
La droite $x=1$ est une asymptote verticale à $(C_f)$
Limites à l’infini
Propriété Limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si $n$ est pair et $-\infty$ si $n$ est impair ;
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ ;
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0$.
Définition Asymptote horizontale
Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ (ou en $-\infty$), la droite d’équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(3-\dfrac{2}{x^2}\right)=3-0=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$.
Pour $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ : $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=1$ (voir V), donc $y=1$ est asymptote horizontale
Opérations sur les limites
Propriété Somme
| $\lim f$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim g$ | $\ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim(f+g)$ | $\ell+\ell'$ | $\pm\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | F.I. |
Propriété Produit et quotient
- $\lim(f\times g)=\ell\ell'$ ; si $\ell\neq0$ et $\lim g=\pm\infty$ : $\lim(f\times g)=\pm\infty$ (règle des signes) ;
- $\lim\dfrac{f}{g}=\dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq0$ ; $\lim\dfrac{\ell}{g}=0$ si $\lim g=\pm\infty$ ;
- $\lim\dfrac{\ell}{g}=\pm\infty$ si $\ell\neq0$ et $\lim g=0$ (signe de $g$).
Remarque Les formes indéterminées
Il y a quatre formes indéterminées (F.I.) :
- « $+\infty-\infty$ »
- « $0\times\infty$ »
- « $\dfrac{\infty}{\infty}$ »
- « $\dfrac{0}{0}$ »
[!] Devant une F.I., on ne conclut pas : on transforme l’écriture pour lever l’indétermination.
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x^2+\sqrt{x})=+\infty$ : somme « $+\infty+\infty$ ».
$\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{x}-3\right)(x-2)=-\infty$ : produit « $(+\infty)\times(-2)$ ».
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x^2+1}=0$ : quotient « $\dfrac{5}{+\infty}$ »
Polynômes et fonctions rationnelles
Propriété En $+\infty$ et en $-\infty$
- La limite d’une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
- La limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
>> On applique directement cette propriété du cours (pas de factorisation à faire).
Exemple
$\lim\limits_{x\to-\infty}(2x^3-5x^2+1)=\lim\limits_{x\to-\infty}2x^3=-\infty$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{1-2x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2}{-2x^2}=-\dfrac{3}{2}$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x}=1$
Méthode Lever une forme indéterminée
- Polynôme ou fonction rationnelle en $\pm\infty$ ⇒ propriété du cours (terme de plus haut degré).
- Forme « $\dfrac{0}{0}$ » en $a$ pour une fonction rationnelle ⇒ on factorise numérateur et dénominateur par $(x-a)$ puis on simplifie.
- Racine carrée qui donne « $\infty-\infty$ » ou « $\dfrac{0}{0}$ » ⇒ expression conjuguée (VI).
- Fonctions trigonométriques en $0$ ⇒ limites usuelles (VIII).
Exemple Forme « $\dfrac{0}{0}$ »
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}$ : calcul direct : $\dfrac{1+1-2}{1-1}$, forme « $\dfrac{0}{0}$ ».
$1$ est racine du numérateur, donc on factorise par $(x-1)$ :
$\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$
$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+2)=3$
Exemple
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ : calcul direct : forme « $\dfrac{0}{0}$ ».
$\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\dfrac{x+2}{x-1}$
$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\dfrac{4}{1}=4$
Erreur fréquente
- « $\dfrac{3}{0}$ » n’est pas une F.I. : on étudie le signe du dénominateur.
- La propriété « plus haut degré » ne s’applique qu’en $\pm\infty$, jamais en un réel $a$.
Fonctions comportant une racine carrée
Propriété
- Si $\lim f=\ell\geq0$, alors $\lim\sqrt{f}=\sqrt{\ell}$ ;
- si $\lim f=+\infty$, alors $\lim\sqrt{f}=+\infty$.
Méthode Expression conjuguée
Pour une F.I. avec $\sqrt{A}-B$, on multiplie et on divise par le conjugué $\sqrt{A}+B$ :
$(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$
Exemple Forme « $+\infty-\infty$ »
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)$ : calcul direct : « $+\infty-\infty$ » (F.I.).
$\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}$
$=\dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$
Le dénominateur tend vers $+\infty$ : quotient « $\dfrac{1}{+\infty}$ ».
$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)=0$
Exemple Forme « $\dfrac{0}{0}$ »
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ : calcul direct : « $\dfrac{0}{0}$ ».
$\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{1}{4}$
Limites et ordre
Théorème Théorèmes de comparaison
Au voisinage de $+\infty$ (même chose en $-\infty$ ou en $a$) :
- si $f(x)\geq g(x)$ et $\lim g=+\infty$, alors $\lim f=+\infty$ ;
- si $f(x)\leq g(x)$ et $\lim g=-\infty$, alors $\lim f=-\infty$ ;
- si $|f(x)-\ell|\leq u(x)$ et $\lim u=0$, alors $\lim f=\ell$ ;
- si $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et $\lim u=\lim v=\ell$, alors $\lim f=\ell$.
Exemple $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$
$\sin x$ n’a pas de limite en $+\infty$ : on utilise l’ordre. Pour $x>0$ :
$\left|\dfrac{\sin x}{x}-0\right|=\dfrac{|\sin x|}{x}\leq\dfrac{1}{x}$
et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\cos x)$ : on a $\cos x\geq-1$, donc $x+\cos x\geq x-1$.
Or $\lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty$
Limites des fonctions trigonométriques
Propriété Les trois limites usuelles
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$
- $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
Méthode
1. Calcul direct : en $0$ on obtient souvent « $\dfrac{0}{0}$ ».
2. On fait apparaître une limite usuelle ; avec $\sin(ax)$ on pose $X=ax$ ($X\to0$ quand $x\to0$).
3. On conclut en nommant l’opération : produit, quotient, somme.
[!] $\dfrac{x}{\sin x}$ n’est pas une limite usuelle : on l’écrit $\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}}$ (quotient).
Exemple $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}$
$\dfrac{\sin3x}{x}=3\times\dfrac{\sin3x}{3x}$
On pose $X=3x$ : $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\sin X}{X}=1$ (limite usuelle).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=3\times1=3$ (produit)
Exemple $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}$
$\dfrac{1-\cos x}{x}=x\times\dfrac{1-\cos x}{x^2}$
$\lim\limits_{x\to0}x=0$ et $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$ (limite usuelle).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0\times\dfrac{1}{2}=0$ (produit)
Exemple $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan2x}{\sin x}$
On divise numérateur et dénominateur par $x$ pour faire apparaître deux limites usuelles :
$\dfrac{\tan2x}{\sin x}=\dfrac{2\times\dfrac{\tan2x}{2x}}{\dfrac{\sin x}{x}}$
- Numérateur : $X=2x$, $\lim\limits_{X\to0}\dfrac{\tan X}{X}=1$ (usuelle), donc il tend vers $2\times1=2$ (produit) ;
- dénominateur : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (usuelle).
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan2x}{\sin x}=\dfrac{2}{1}=2$ (quotient)
À retenir
- Toujours commencer par le calcul direct ; « $\dfrac{\ell}{0}$ » ($\ell\neq0$) ⇒ signe du dénominateur.
- F.I. : $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
- Polynôme/rationnelle en $\pm\infty$ : plus haut degré ; « $\dfrac{0}{0}$ » en $a$ : factoriser par $(x-a)$ ; racine : conjugué.
- Asymptotes : $x=a$ si limite infinie en $a$ ; $y=\ell$ si limite $\ell$ en $\pm\infty$.