Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Distance et milieu (§ I). Repère orthonormé. $A(2;-1;3)$ et $B(0;1;2)$. Calculer $AB$ et les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
Exercice 2 ★
Déterminant (§ II). $\vec{u}(1;0;2)$, $\vec{v}(2;1;-1)$ et $\vec{w}(0;1;-5)$. Calculer $\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ et conclure.
Exercice 3 ★
Quatre points coplanaires (§ II). $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;-1)$. Montrer que $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires.
Exercice 4 ★
Représentation paramétrique d'une droite (§ III). Soit $(D)$ la droite passant par $A(2;-1;0)$ et dirigée par $\vec{u}(1;2;-1)$.
1. Donner une représentation paramétrique de $(D)$.
2. Les points $B(4;3;-2)$ et $C(0;-5;3)$ appartiennent-ils à $(D)$ ?
Exercice 5 ★
Représentation paramétrique d'un plan (§ IV). Donner une représentation paramétrique du plan $(P)$ passant par $A(0;1;1)$ et dirigé par $\vec{u}(1;0;2)$ et $\vec{v}(0;1;-1)$.
Exercice 6 ★
Équation cartésienne (§ V). Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$ avec $A(1;1;0)$, $B(2;0;1)$ et $C(0;2;2)$.
Exercice 7 ★
Deux plans (§ VI). Étudier la position relative de $(P):2x-y+3z-1=0$ et $(Q):-4x+2y-6z+2=0$, puis de $(P)$ et $(R):x+y-z=0$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 8 ★★
Droite et plan (§ VII). $(P):x+2y-z-3=0$, $(D):\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases}$ et $(D’):\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=3t\end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$).
Étudier la position de $(D)$ et de $(D’)$ par rapport à $(P)$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 9 ★★★
Deux droites (§ VIII). $(D):\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=-1+t\end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$) et $(D’):\begin{cases}x=3+s\\y=1-s\\z=s\end{cases}$ ($s\in\mathbb{R}$).
1. Les droites $(D)$ et $(D’)$ sont-elles parallèles ?
2. Ont-elles un point commun ? Conclure.
Corrections
Correction 1
💡 $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ (repère orthonormé).
$\overrightarrow{AB}(-2;2;-1)$, donc $AB=\sqrt{4+4+1}=3$.
$AB=3$ et $I\left(1;0;\dfrac{5}{2}\right)$
Correction 2
💡 Développement suivant la première ligne (signes $+$, $-$, $+$) ; $\det=0\iff$ coplanaires.
$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\begin{vmatrix}1&2&0\\0&1&1\\2&-1&-5\end{vmatrix}$
$=1\times\begin{vmatrix}1&1\\-1&-5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}0&1\\2&-5\end{vmatrix}+0$
$=1\times(-5+1)-2\times(0-2)=-4+4=0$
$\det=0$ : $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires (en effet $\vec{w}=-2\vec{u}+\vec{v}$)
Correction 3
💡 $A$, $B$, $C$, $D$ coplanaires $\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0$.
$\overrightarrow{AB}(-1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}(-1;0;1)$, $\overrightarrow{AD}(0;1;-1)$.
$\det=\begin{vmatrix}-1&-1&0\\1&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=-1\times(0-1)-(-1)\times(-1-0)+0$
$=1-1=0$
Les quatre points sont coplanaires
Correction 4
💡 $M\in(D)\iff\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ ; un point appartient à $(D)$ si une même valeur de $t$ vérifie les trois équations.
1.
$(D):\begin{cases}x=2+t\\y=-1+2t\\z=-t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$
2. $B$ : $4=2+t\Rightarrow t=2$ ; alors $y=3$ ✔ et $z=-2$ ✔ :
$B\in(D)$
$C$ : $0=2+t\Rightarrow t=-2$ ; alors $y=-5$ ✔ mais $z=2\neq3$ ✘ :
[!] $C\notin(D)$
Correction 5
💡 On vérifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, puis $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}+s\vec{v}$.
$\vec{u}(1;0;2)$ et $\vec{v}(0;1;-1)$ ne sont pas proportionnels (la $1^{re}$ coordonnée de $\vec{v}$ est nulle, pas celle de $\vec{u}$).
$(P):\begin{cases}x=t\\y=1+s\\z=1+2t-s\end{cases}\quad(t;s)\in\mathbb{R}^2$
Correction 6
💡 $M\in(ABC)\iff\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$ ; on vérifie avec $B$ et $C$.
$\overrightarrow{AM}(x-1;y-1;z)$, $\overrightarrow{AB}(1;-1;1)$, $\overrightarrow{AC}(-1;1;2)$.
$\det=(x-1)\times\begin{vmatrix}-1&1\\1&2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}y-1&1\\z&2\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}y-1&-1\\z&1\end{vmatrix}$
$=-3(x-1)-(2y-2-z)-(y-1+z)$
$=-3x-3y+6$
$(ABC):\ x+y-2=0$ (vérification : $B$ : $2+0-2=0$ ✔ ; $C$ : $0+2-2=0$ ✔ ; plan parallèle à $(Oz)$)
Correction 7
💡 On compare les triplets $(a;b;c)$ ; s'ils sont proportionnels, on compare aussi $d$.
$(-4;2;-6)=-2(2;-1;3)$ et $2=-2\times(-1)$ : même proportion pour $d$.
$(P)$ et $(Q)$ sont confondus
$(2;-1;3)$ et $(1;1;-1)$ ne sont pas proportionnels.
$(P)$ et $(R)$ sont sécants suivant une droite
Correction 8
💡 On remplace $x$, $y$, $z$ dans l'équation de $(P)$ : une solution ⇒ un point ; aucune ⇒ parallèle strictement ; toutes ⇒ incluse.
$(D)$ : $1+2t-2t-1-t-3=0\iff-t-3=0\iff t=-3$
$(D)$ coupe $(P)$ au point $(-5;3;-2)$ (vérification : $-5+6+2-3=0$ ✔)
$(D’)$ : $t+2+2t-3t-3=0\iff-1=0$ : impossible.
$(D’)$ est strictement parallèle à $(P)$
Correction 9
💡 Vecteurs directeurs colinéaires ? Sinon, système avec deux paramètres $t$ et $s$.
1. $\vec{u}(1;2;1)$ et $\vec{v}(1;-1;1)$ ne sont pas proportionnels :
$(D)$ et $(D’)$ ne sont pas parallèles
2. $\begin{cases}1+t=3+s\\2t=1-s\\-1+t=s\end{cases}$
La 1ʳᵉ équation donne $t=2+s$ et la 3ᵉ donne $t=1+s$ : contradiction.
Aucun point commun : $(D)$ et $(D’)$ sont non coplanaires