Repère et déterminant
Formules Formules (repère orthonormé)
- $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ ; $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=x\begin{vmatrix}y’&y’’\\z’&z’’\end{vmatrix}-x’\begin{vmatrix}y&y’’\\z&z’’\end{vmatrix}+x’’\begin{vmatrix}y&y’\\z&z’\end{vmatrix}$
- $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ coplanaires $\iff\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0$.
Droites et plans
Formules Représentations paramétriques
- Droite $(D)$ passant par $A$ dirigée par $\vec{u}(a;b;c)$ : $\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$).
- Plan passant par $A$ dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $M=A+t\vec{u}+s\vec{v}$ ($t$, $s$ réels).
Propriété Équation cartésienne d'un plan
Tout plan a une équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$
- On l'obtient avec $\det\left(\overrightarrow{AM},\vec{u},\vec{v}\right)=0$.
Positions relatives
Méthode Méthodes
- Deux plans : $(a;b;c)$ et $(a’;b’;c’)$ proportionnels ⇒ parallèles (confondus si $d$ suit) ; sinon sécants suivant une droite.
- Droite et plan : on remplace $x$, $y$, $z$ de $(D)$ dans l'équation de $(P)$ et on résout en $t$.
- Deux droites : vecteurs directeurs colinéaires ⇒ parallèles ; sinon on résout le système : sécantes ou non coplanaires.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier que deux droites de l'espace peuvent être non coplanaires.
- Utiliser la même lettre $t$ pour deux droites différentes.
À retenir À retenir
- Coplanarité : déterminant nul.
- Intersection droite-plan : une équation en $t$.