Repère de l’espace — Coordonnées
Propriété Rappels
Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, avec $\vec{u}(x;y;z)$, $\vec{v}(x';y';z')$ et $\alpha\in\mathbb{R}$ :
- $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y';z+z')$ et $\alpha\vec{u}(\alpha x;\alpha y;\alpha z)$
- $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles.
Propriété Repère orthonormé
Si le repère est orthonormé :
$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Exemple
$A(1;-1;2)$, $B(3;0;1)$, $C(-1;-2;3)$ dans un repère orthonormé.
$\overrightarrow{AB}(2;1;-1)$, donc $AB=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$
$\overrightarrow{AC}(-2;-1;1)=-\overrightarrow{AB}$
$AB=\sqrt{6}$ et $A$, $B$, $C$ sont alignés
Déterminant de trois vecteurs — Coplanarité
Définition
Le déterminant de $\vec{u}(x;y;z)$, $\vec{v}(x';y';z')$ et $\vec{w}(x'';y'';z'')$ est le réel (développement suivant la première ligne) :
$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}y'&y''\\z'&z''\end{vmatrix}-x'\begin{vmatrix}y&y''\\z&z''\end{vmatrix}+x''\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}$
>> Attention au signe − devant le terme du milieu.
Théorème
- $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires $\iff\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0$.
- Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires $\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0$.
- $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base de l’espace $\iff\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})\neq0$.
Exemple
$\vec{u}(1;2;-1)$, $\vec{v}(0;1;3)$, $\vec{w}(2;5;1)$ sont-ils coplanaires ?
$\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\begin{vmatrix}1&0&2\\2&1&5\\-1&3&1\end{vmatrix}$
$=1\times\begin{vmatrix}1&5\\3&1\end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}2&5\\-1&1\end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix}$
$=1\times(1-15)-0+2\times(6+1)$
$=-14+14=0$
$\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires (en effet $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$)
Représentation paramétrique d’une droite
Propriété
La droite $D(A,\vec{u})$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et dirigée par $\vec{u}(a;b;c)\neq\vec{0}$ est l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ ($t\in\mathbb{R}$), soit :
$\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$
Exemple
Droite $(AB)$ avec $A(1;0;2)$ et $B(3;-1;4)$ : $\overrightarrow{AB}(2;-1;2)$ est un vecteur directeur.
$(AB):\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=2+2t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R})$
$C(5;-2;6)\in(AB)$ ? La 1ʳᵉ équation donne $5=1+2t$, donc $t=2$ ; alors $y=-2$ ✔ et $z=2+4=6$ ✔.
$C\in(AB)$ (paramètre $t=2$)
Erreur fréquente
- Pour tester $C\in(D)$, la même valeur de $t$ doit vérifier les trois équations.
Représentation paramétrique d’un plan
Propriété
Le plan $P(A,\vec{u},\vec{v})$, avec $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ non colinéaires, est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}+s\vec{v}$ :
$\begin{cases}x=x_A+at+a's\\y=y_A+bt+b's\\z=z_A+ct+c's\end{cases}\quad(t;s)\in\mathbb{R}^2$
Exemple
Plan $(ABC)$ avec $A(1;1;0)$, $B(2;0;1)$, $C(0;2;3)$ : $\overrightarrow{AB}(1;-1;1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1;1;3)$ ne sont pas proportionnels (non colinéaires).
$(ABC):\begin{cases}x=1+t-s\\y=1-t+s\\z=t+3s\end{cases}\quad(t;s)\in\mathbb{R}^2$
Équation cartésienne d’un plan
Théorème
$M\in P(A,\vec{u},\vec{v})\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec{u},\vec{v})=0$
En développant, on obtient une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ : c’est une équation cartésienne du plan.
Réciproquement, tout ensemble d’équation $ax+by+cz+d=0$ avec $(a;b;c)\neq(0;0;0)$ est un plan.
Exemple
Plan $(ABC)$ avec $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$ : $\overrightarrow{AM}(x-1;y;z)$, $\overrightarrow{AB}(-1;2;0)$, $\overrightarrow{AC}(-1;0;3)$.
$\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\begin{vmatrix}x-1&-1&-1\\y&2&0\\z&0&3\end{vmatrix}$
$=(x-1)\times(6-0)-(-1)\times(3y-0)+(-1)\times(0-2z)$
$=6x-6+3y+2z$
$(ABC):\ 6x+3y+2z-6=0$
Vérification : $B$ : $0+6+0-6=0$ ✔ ; $C$ : $0+0+6-6=0$ ✔.
Remarque Plans particuliers
- $z=0$ : le plan $(O;\vec{i},\vec{j})$ ;
- $x=2$ : plan parallèle au plan $(O;\vec{j},\vec{k})$ ;
- $x+y=1$ (pas de $z$) : plan parallèle à l’axe $(Oz)$.
Positions relatives de deux plans
Propriété
Soient $(P):ax+by+cz+d=0$ et $(P'):a'x+b'y+c'z+d'=0$ :
- $(a;b;c)$ et $(a';b';c')$ proportionnels : $(P)$ et $(P')$ sont parallèles (confondus si $d$ et $d'$ suivent la même proportion, strictement parallèles sinon) ;
- non proportionnels : $(P)$ et $(P')$ sont sécants suivant une droite.
Exemple
$(P):x-2y+z-1=0$, $(Q):2x-4y+2z+3=0$ et $(R):x+y-z=0$.
- $(2;-4;2)=2(1;-2;1)$ mais $3\neq2\times(-1)$ : $(P)$ et $(Q)$ sont strictement parallèles.
$(1;-2;1)$ et $(1;1;-1)$ ne sont pas proportionnels : $(P)$ et $(R)$ sont sécants suivant une droite
Positions relatives d’une droite et d’un plan
Méthode
On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique de $(D)$ dans l’équation de $(P)$, et on résout en $t$ :
- une seule valeur de $t$ : $(D)$ coupe $(P)$ en un point ;
- aucune solution : $(D)$ est strictement parallèle à $(P)$ ;
- tout $t$ convient : $(D)$ est incluse dans $(P)$.
Exemple
$(P):2x-y+z-3=0$ et $(D):\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3t\end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$).
$2(1+t)-(2-t)+3t-3=0$
$\iff6t-3=0$
$\iff t=\dfrac{1}{2}$
$(D)$ coupe $(P)$ au point $I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
Positions relatives de deux droites
Propriété
Deux droites $(D)$ et $(D')$ de l’espace sont :
- parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ;
- sécantes si elles ne sont pas parallèles et ont un point commun ;
- non coplanaires si elles ne sont pas parallèles et n’ont aucun point commun.
Méthode
1. On compare les vecteurs directeurs (colinéaires ou non).
2. S’ils ne sont pas colinéaires, on résout le système avec deux paramètres différents $t$ et $s$ : une solution ⇒ sécantes ; aucune ⇒ non coplanaires.
Exemple
$(D):\begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=2-t\end{cases}$ et $(D'):\begin{cases}x=2+s\\y=1+2s\\z=1+s\end{cases}$
$\vec{u}(1;1;-1)$ et $\vec{v}(1;2;1)$ ne sont pas proportionnels : pas parallèles.
$\begin{cases}1+t=2+s\\t=1+2s\\2-t=1+s\end{cases}$
Les deux premières équations donnent $t=1+s=1+2s$, donc $s=0$ et $t=1$ ; la troisième : $2-1=1+0$ ✔.
$(D)$ et $(D')$ sont sécantes au point $(2;1;1)$
Erreur fréquente
- Utiliser le même paramètre $t$ pour les deux droites : faux ! Chaque droite a son paramètre.
- Dans l’espace, « non parallèles » ne veut pas dire « sécantes ».
À retenir
- Coplanaires $\iff\det=0$ ; base $\iff\det\neq0$.
- Droite : $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ ; plan : $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}+s\vec{v}$ ou $ax+by+cz+d=0$.
- Équation de $(ABC)$ : $\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$.
- Droite et plan : on remplace et on résout en $t$ ; deux droites : deux paramètres $t$ et $s$.