Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Suite explicite (§ II). Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=n^2-3n$.
1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{10}$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.
Exercice 2 ★
Suite récurrente (§ III). Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Exercice 3 ★
Suite bornée (§ IV). Soit $u_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$ pour $n\in\mathbb{N}$.
Montrer que $(u_n)$ est bornée : $(\forall n\in\mathbb{N})\ -\dfrac{1}{2}\leq u_n<3$.
Exercice 4 ★
Majoration par récurrence (§ IV). Soit $u_0=3$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{2}$.
Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<4$.
Exercice 5 ★
Monotonie (§ V). 1. Étudier la monotonie de $v_n=\dfrac{n}{n+1}$ ($n\in\mathbb{N}$).
2. Étudier la monotonie de $w_n=\dfrac{2^n}{n+1}$ ($n\in\mathbb{N}$) en comparant $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ à $1$.
Exercice 6 ★
Suite arithmétique (§ VI). Soit $u_n=5-2n$.
1. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme.
2. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{20}$.
Exercice 7 ★
Terme général (§ VI.2). $(u_n)$ est arithmétique avec $u_2=7$ et $u_5=16$.
1. Déterminer la raison $r$, puis $u_0$ et $u_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$.
Exercice 8 ★
Suite géométrique (§ VII). Soit $u_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.
1. Montrer que $(u_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et $u_0$.
2. Calculer $S=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 9 ★★
Suite auxiliaire. Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n-2$. On pose $v_n=u_n-1$.
1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 10 ★★★
Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
1. Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3$.
2. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
3. On pose $v_n=u_n-3$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculer $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$.
Corrections
Correction 1
💡 Pour une suite explicite, on remplace $n$ par la valeur voulue (ou par $n+1$).
1. $u_0=0$ ; $u_1=1-3=-2$ ; $u_2=4-6=-2$
$u_{10}=100-30=70$
2. $u_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)$
$=n^2+2n+1-3n-3$
$u_{n+1}=n^2-n-2$
Correction 2
💡 Chaque terme se calcule à partir du précédent.
$u_1=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2}$
$u_2=\dfrac{\dfrac{5}{2}+3}{2}=\dfrac{11}{4}$
$u_3=\dfrac{\dfrac{11}{4}+3}{2}=\dfrac{23}{8}$
Correction 3
💡 On étudie le signe de $u_n-3$ et de $u_n+\dfrac{1}{2}$.
$u_n-3=\dfrac{3n-1-3(n+2)}{n+2}=\dfrac{-7}{n+2}<0$
donc $u_n<3$ : $(u_n)$ est majorée par $3$.
$u_n+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2(3n-1)+(n+2)}{2(n+2)}=\dfrac{7n}{2(n+2)}\geq0$
donc $u_n\geq-\dfrac{1}{2}$ : $(u_n)$ est minorée par $-\dfrac{1}{2}$.
$(\forall n\in\mathbb{N})\ -\dfrac{1}{2}\leq u_n<3$ : $(u_n)$ est bornée
Correction 4
💡 Récurrence : initialisation puis hérédité (on utilise l'hypothèse $u_n<4$).
Initialisation : $u_0=3<4$ ✔.
Hérédité : supposons $u_n<4$.
$u_n<4\Rightarrow u_n+4<8$
$\Rightarrow\dfrac{u_n+4}{2}<4\Rightarrow u_{n+1}<4$ ✔
Par récurrence : $(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<4$
Correction 5
💡 Méthode 1 : signe de $v_{n+1}-v_n$ ; méthode 2 (termes $>0$) : comparer $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ à $1$.
1. $v_{n+1}-v_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$
$=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$
$(v_n)$ est strictement croissante
2. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+2}\times\dfrac{n+1}{2^n}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}$
$2(n+1)-(n+2)=n\geq0$, donc $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\geq1$.
$(w_n)$ est croissante
Correction 6
💡 Arithmétique : $u_{n+1}-u_n$ constant ; somme : $S=N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$ ($N$ = nombre de termes).
1. $u_{n+1}-u_n=5-2(n+1)-(5-2n)=-2$
$(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-2$ et de premier terme $u_0=5$
2. $N=20-0+1=21$ termes ; $u_{20}=5-40=-35$.
$S=21\times\dfrac{5+(-35)}{2}=21\times(-15)$
$S=-315$
Correction 7
💡 $u_n=u_m+(n-m)r$ pour tous $n$, $m$.
1. $u_5=u_2+3r\iff16=7+3r\iff r=3$
$u_0=u_2-2r=7-6=1$
$r=3$, $u_0=1$ et $u_n=1+3n$
2. $u_9=28$ et il y a $10$ termes : $S=10\times\dfrac{1+28}{2}$
$S=145$
Correction 8
💡 Géométrique : $u_{n+1}=q\,u_n$ ; somme de $N$ termes : $S=u_p\times\dfrac{1-q^N}{1-q}$.
1. $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+2}}{3^{n+1}}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2^{n+1}}{3^n}=\dfrac{2}{3}u_n$
$(u_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{2}{3}$ et $u_0=2$
2. $N=5$ termes : $S=2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^5}{1-\dfrac{2}{3}}=6\left(1-\dfrac{32}{243}\right)$
$S=6\times\dfrac{211}{243}=\dfrac{422}{81}$
Correction 9
💡 On calcule $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis on fait apparaître $v_n$.
1. $v_{n+1}=u_{n+1}-1=3u_n-2-1$
$=3u_n-3=3(u_n-1)=3v_n$
$(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et $v_0=u_0-1=1$
2. $v_n=1\times3^n=3^n$ et $u_n=v_n+1$
$u_n=3^n+1$
Correction 10
💡 Récurrence pour la majoration ; signe de $u_{n+1}-u_n$ ; suite auxiliaire ; somme géométrique ($n+1$ termes).
1. $u_0=1<3$ ✔. Si $u_n<3$ : $\dfrac{1}{3}u_n<1$, donc $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2<3$ ✔.
$(\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3$
2. $u_{n+1}-u_n=2-\dfrac{2}{3}u_n=\dfrac{2}{3}(3-u_n)>0$ (car $u_n<3$)
$(u_n)$ est strictement croissante
3. $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}u_n-1=\dfrac{1}{3}(u_n-3)=\dfrac{1}{3}v_n$ ; $v_0=-2$.
$v_n=-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et $u_n=3-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
4. $S_n=-2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$S_n=-3\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$