Suites numériques
Définition Définitions
- Une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ associe à chaque entier $n\geq n_0$ un réel $u_n$ (terme d'indice $n$).
- Explicite : $u_n=f(n)$ ⇒ on calcule directement $u_n$ en remplaçant $n$.
- Récurrente : $u_0$ donné et $u_{n+1}=f(u_n)$ ⇒ on calcule les termes de proche en proche.
Suites majorées, minorées, bornées
Définition Définitions
- Majorée par $M$ : $(\forall n)\ u_n\leq M$ ; minorée par $m$ : $(\forall n)\ u_n\geq m$.
- Bornée : majorée et minorée.
Méthode Méthodes
- Étudier le signe de $u_n-M$ (ou de $u_n-m$).
- Pour une suite récurrente : raisonnement par récurrence.
Monotonie
Méthode Étudier la monotonie
On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$
- $u_{n+1}-u_n\geq0$ ⇒ croissante ; $u_{n+1}-u_n\leq0$ ⇒ décroissante.
- Si $u_n>0$ : on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
Suites arithmétiques
Formules Formules
- Définition : $u_{n+1}=u_n+r$ ($r$ raison).
$u_n=u_p+(n-p)r$
- Caractéristique : $2b=a+c$ pour trois termes consécutifs $a$, $b$, $c$.
- Somme : $S=N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$ avec $N=n-p+1$ (nombre de termes).
- $r>0$ ⇒ croissante ; $r<0$ ⇒ décroissante.
Suites géométriques
Formules Formules
- Définition : $u_{n+1}=q\,u_n$ ($q$ raison).
$u_n=u_p\times q^{n-p}$
- Caractéristique : $b^2=ac$.
- Somme ($q\neq1$) : $S=u_p\times\dfrac{1-q^N}{1-q}$ avec $N=n-p+1$.
Méthode Suite auxiliaire
- Pour $u_{n+1}=au_n+b$ : on pose $v_n=u_n-\ell$ et on montre $v_{n+1}=a\,v_n$.
- On écrit $v_n$, puis $u_n=v_n+\ell$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier de compter le nombre de termes $N$ dans une somme.
- Montrer la monotonie sur quelques termes seulement.
À retenir À retenir
- Arithmétique : on ajoute $r$ ; géométrique : on multiplie par $q$.
- La monotonie se démontre avec le signe de $u_{n+1}-u_n$.