Suite numérique
Définition
Soit $p$ un entier naturel et $I=\{n\in\mathbb{N}\ /\ n\geq p\}$.
Une suite numérique est une fonction $u$ de $I$ vers $\mathbb{R}$ qui à chaque entier $n$ associe un réel noté $u_n$.
- $u_n$ est le terme général (ou terme de rang $n$) ;
- la suite se note $(u_n)_{n\geq p}$ ; si $p=0$ : $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ; $u_p$ est le premier terme.
Remarque
[!] Ne pas confondre $u_{n+1}$ (le terme suivant $u_n$) et $u_n+1$ (le terme $u_n$ augmenté de $1$).
Suite définie par une formule explicite
Définition
Une suite est définie de façon explicite si son terme général s’écrit directement en fonction de $n$ : $u_n=f(n)$.
>> On peut alors calculer n’importe quel terme directement.
Exemple
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=2n-7$.
$u_0=2\times0-7=-7$ ; $u_1=2\times1-7=-5$
$u_{100}=2\times100-7=193$
Et $u_{n+1}=2(n+1)-7=2n-5$.
Suite récurrente
Définition
Une suite est récurrente si on calcule chaque terme à partir du (ou des) terme(s) précédent(s).
- Forme $u_{n+1}=f(u_n)$ : il faut connaître le premier terme $u_0$.
- Forme $u_{n+2}=f(u_{n+1},u_n)$ : il faut connaître $u_0$ et $u_1$.
Exemple Récurrence d’ordre 1
$\begin{cases}v_0=1\\v_{n+1}=3v_n-4\end{cases}$
$v_1=3\times1-4=-1$
$v_2=3\times(-1)-4=-7$
$v_3=3\times(-7)-4=-25$
Exemple Récurrence d’ordre 2
$\begin{cases}T_0=1\ ;\ T_1=2\\T_{n+2}=T_{n+1}+2T_n\end{cases}$
$T_2=T_1+2T_0=2+2=4$
$T_3=T_2+2T_1=4+4=8$
Erreur fréquente
- Pour une suite récurrente, on ne peut pas calculer $u_{100}$ directement : il faut tous les termes avant (ou trouver une formule explicite).
Suites majorées, minorées, bornées
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq p}$ une suite numérique.
- $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n\geq p)\ u_n\leq M$.
- $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que : $(\forall n\geq p)\ u_n\geq m$.
- $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée : $(\forall n\geq p)\ m\leq u_n\leq M$.
Méthode Montrer que $(u_n)$ est majorée par $M$
- Suite explicite : on étudie le signe de $u_n-M$ (on montre $u_n-M\leq0$).
- Suite récurrente : on utilise le raisonnement par récurrence.
Exemple Suite explicite
$u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}$, $n\in\mathbb{N}$. Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n\leq3$.
$u_n-2=\dfrac{2n+3-2(n+1)}{n+1}$
$=\dfrac{1}{n+1}>0$
donc $u_n>2$ : $(u_n)$ est minorée par $2$.
$u_n-3=\dfrac{2n+3-3(n+1)}{n+1}$
$=\dfrac{-n}{n+1}\leq0$
donc $u_n\leq3$ : $(u_n)$ est majorée par $3$.
$(u_n)$ est bornée : $(\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n\leq3$
Exemple Suite récurrente
$u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n<2$.
Initialisation : $u_0=1$ et $0<1<2$ ✔.
Hérédité : supposons $0<u_n<2$ et montrons $0<u_{n+1}<2$.
$0<u_n<2\Rightarrow2<u_n+2<4$
$\Rightarrow\sqrt{2}<\sqrt{u_n+2}<2$ (la racine carrée est croissante)
$\Rightarrow0<u_{n+1}<2$ ✔
Par récurrence : $(\forall n\in\mathbb{N})\ 0<u_n<2$
Monotonie d’une suite
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq p}$ une suite numérique.
- $(u_n)$ est croissante si $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}\geq u_n$ ;
- strictement croissante si $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}>u_n$ ;
- décroissante si $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}\leq u_n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1}<u_n$ ;
- constante si $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}=u_n$ ; monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthode Étudier la monotonie
- Méthode 1 : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.
- Méthode 2 (si tous les $u_n>0$) : on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
- Méthode 3 (si $u_n=f(n)$) : $f$ monotone sur $[p;+\infty[$ ⇒ $(u_n)$ a la même monotonie.
Exemple Méthode 1
$u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{2n+5}{n+2}-\dfrac{2n+3}{n+1}$
$=\dfrac{(2n+5)(n+1)-(2n+3)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$
$=\dfrac{2n^2+7n+5-2n^2-7n-6}{(n+1)(n+2)}$
$=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}<0$
$(u_n)$ est strictement décroissante
Exemple Méthode 2
$w_n=\dfrac{2^n}{n}$ pour $n\geq1$ : tous les termes sont strictement positifs.
$\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times\dfrac{n}{2^n}$
$=\dfrac{2n}{n+1}$
Or $2n\geq n+1$ pour $n\geq1$, donc $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\geq1$.
$(w_n)_{n\geq1}$ est croissante
Exemple Suite récurrente
$u_0=1$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ et on sait que $0<u_n<2$. On utilise le conjugué :
$u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n$
$=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}$
$=\dfrac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}$
$2-u_n>0$, $1+u_n>0$ et le dénominateur est positif, donc $u_{n+1}-u_n>0$.
$(u_n)$ est strictement croissante
Remarque
- Si $(u_n)_{n\geq p}$ est croissante, elle est minorée par son premier terme $u_p$.
- Si $(u_n)_{n\geq p}$ est décroissante, elle est majorée par $u_p$.
Suites arithmétiques
Définition
Définition
$(u_n)_{n\geq p}$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que : $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}=u_n+r$.
Le réel $r$ est la raison de la suite.
Méthode Montrer qu’une suite est arithmétique
On calcule $u_{n+1}-u_n$ : si le résultat est une constante $r$ (ne dépend pas de $n$), la suite est arithmétique de raison $r$.
Exemple
$u_n=3n-5$
$u_{n+1}-u_n=3(n+1)-5-(3n-5)$
$=3$
$(u_n)$ est arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=-5$
Exemple Contre-exemple
$v_n=n^2$ : $v_1-v_0=1$ mais $v_2-v_1=3$.
La différence n’est pas constante : $(v_n)$ n’est pas arithmétique
Terme général et propriété caractéristique
Propriété
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ :
$(\forall n,m\geq p)\ u_n=u_m+(n-m)r$
En particulier : $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_1+(n-1)r$.
Propriété caractéristique : trois nombres $a$, $b$, $c$ sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique $\iff2b=a+c$.
Remarque Monotonie
$u_{n+1}-u_n=r$, donc :
- $r>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante ;
- $r<0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante ;
- $r=0$ : $(u_n)$ est constante.
Exemple
$(u_n)$ arithmétique avec $u_3=9$ et $u_7=1$. Trouver $r$ puis $u_n$.
$u_7=u_3+(7-3)r\iff1=9+4r$
$\iff r=-2$
$u_n=u_3+(n-3)r=9-2(n-3)$
$r=-2$ et $u_n=15-2n$
Somme de termes consécutifs
Propriété
Si $(u_n)$ est arithmétique, la somme de termes consécutifs est :
$S=N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$
avec $N=n-p+1$ le nombre de termes de $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n$.
>> Notation : $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\sum\limits_{k=p}^{n}u_k$.
Réponse Démonstration
On écrit la somme dans les deux sens et on additionne terme à terme :
$S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n$
$S=u_n+u_{n-1}+\cdots+u_p$
Chaque colonne vaut $u_p+u_n$ (on ajoute $r$ en haut et on retranche $r$ en bas), et il y a $N$ colonnes :
$2S=N(u_p+u_n)$
$S=N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$
Exemple
1) $1+2+3+\cdots+n$ : $n$ termes d’une suite arithmétique de raison $1$.
$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
2) $u_n=15-2n$ : $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$ a $11$ termes, $u_0=15$ et $u_{10}=-5$.
$S=11\times\dfrac{15+(-5)}{2}$
$S=55$
Erreur fréquente
- De $u_0$ à $u_{10}$ il y a $11$ termes (et non $10$) : $N=n-p+1$.
Suites géométriques
Définition
Définition
$(u_n)_{n\geq p}$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que : $(\forall n\geq p)\ u_{n+1}=q\,u_n$.
Le réel $q$ est la raison de la suite.
Méthode Montrer qu’une suite est géométrique
On exprime $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et on fait apparaître $u_{n+1}=q\,u_n$ avec $q$ constant.
>> Si les termes sont non nuls, on peut aussi calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
Exemple
$u_n=3\times2^n$
$u_{n+1}=3\times2^{n+1}=2\times(3\times2^n)$
$=2u_n$
$(u_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=3$
Terme général et propriété caractéristique
Propriété
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ :
$(\forall n,m\geq p)\ u_n=u_m\times q^{n-m}$
En particulier : $u_n=u_0\times q^n$.
Propriété caractéristique : $a$, $b$, $c$ sont des termes consécutifs d’une suite géométrique $\iff b^2=ac$.
Remarque Monotonie (pour $u_0>0$)
- $q>1$ : $(u_n)$ est strictement croissante ;
- $0<q<1$ : $(u_n)$ est strictement décroissante ;
- $q=1$ : $(u_n)$ est constante ; $q<0$ : les termes changent de signe, $(u_n)$ n’est pas monotone.
Exemple Placement à intérêts composés
On place $10000$ DH à $5\%$ par an. $C_n$ est le capital après $n$ années.
Chaque année le capital est multiplié par $1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$ : $C_{n+1}=1{,}05\,C_n$.
$(C_n)$ est géométrique de raison $1{,}05$ : $C_n=10000\times1{,}05^n$
Somme de termes consécutifs
Propriété
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q\neq1$, la somme de $N$ termes consécutifs à partir de $u_p$ est :
$S=u_p\times\dfrac{1-q^N}{1-q}$
Si $q=1$, tous les termes sont égaux et $S=N\,u_p$.
Exemple
$S=1+2+2^2+\cdots+2^{10}$ : $11$ termes d’une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.
$S=1\times\dfrac{1-2^{11}}{1-2}$
$=2^{11}-1$
$S=2047$
Application Suite auxiliaire
$u_0=5$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$. On pose $v_n=u_n-2$.
1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
2. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Réponse
$v_{n+1}=u_{n+1}-2=\dfrac{1}{2}u_n+1-2$
$=\dfrac{1}{2}u_n-1$
$=\dfrac{1}{2}(u_n-2)=\dfrac{1}{2}v_n$
1) $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et $v_0=u_0-2=3$
$v_n=3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $u_n=v_n+2$
2) $u_n=2+3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
Erreur fréquente
- Arithmétique : on ajoute $r$ ; géométrique : on multiplie par $q$.
- Dans $S=u_p\dfrac{1-q^N}{1-q}$, l’exposant $N$ est le nombre de termes, pas le dernier indice.
À retenir
- Majorée / minorée : signe de $u_n-M$ ou récurrence ; monotonie : signe de $u_{n+1}-u_n$.
- Arithmétique : $u_{n+1}=u_n+r$, $u_n=u_p+(n-p)r$, $S=N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$.
- Géométrique : $u_{n+1}=q\,u_n$, $u_n=u_p\,q^{n-p}$, $S=u_p\dfrac{1-q^N}{1-q}$ ($q\neq1$).