Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Asymptotes (§ I.1). Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$. Déterminer les asymptotes de $(C_f)$ et la position de $(C_f)$ par rapport à l'asymptote horizontale.
Exercice 2 ★
Asymptote oblique (§ I.2). Soit $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$.
1. Écrire $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{x+1}$.
2. En déduire une asymptote oblique et la position relative.
Exercice 3 ★
Asymptote oblique par $a$ et $b$ (§ I.2). Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Montrer que $(C_f)$ admet une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$.
Exercice 4 ★
Branches paraboliques (§ I.3). Étudier la branche infinie au voisinage de $+\infty$ de $f(x)=x+\sqrt{x}$ et de $g(x)=x^3+x$.
Exercice 5 ★
Éléments de symétrie (§ II). 1. Montrer que $\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
2. Montrer que la droite $x=3$ est un axe de symétrie de la courbe de $g(x)=x^2-6x+5$.
Exercice 6 ★
Point d'inflexion (§ III). Étudier la concavité de la courbe de $f(x)=x^3+3x^2-2$ et déterminer son point d'inflexion.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 7 ★★★
Étude complète. Soit $f(x)=x^3-3x^2+4$.
1. Calculer les limites de $f$ en $\pm\infty$ et étudier les branches infinies.
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
3. Déterminer le point d'inflexion de $(C_f)$.
4. Vérifier que $f(x)=(x-2)^2(x+1)$ et en déduire les intersections de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses.
5. Discuter, selon $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.
Exercice 8 ★★★
Fonction rationnelle. Soit $f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-2}$ sur $\mathbb{R}-\{2\}$.
1. Montrer que $f(x)=x-1+\dfrac{4}{x-2}$ ; en déduire les asymptotes de $(C_f)$.
2. Calculer $f’(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que $\Omega(2;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.
Corrections
Correction 1
💡 Limites aux bornes ; position par rapport à $y=b$ : signe de $f(x)-b$.
En $3$ : « $\dfrac{7}{0}$ » : $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=-\infty$ : asymptote verticale $x=3$.
En $\pm\infty$ : $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x}=2$ : asymptote horizontale $y=2$.
$f(x)-2=\dfrac{2x+1-2(x-3)}{x-3}=\dfrac{7}{x-3}$
$(C_f)$ est au-dessus de $y=2$ si $x>3$ et au-dessous si $x<3$
Correction 2
💡 Division euclidienne, puis $\lim\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ ; position : signe de $f(x)-(ax+b)$.
1. $x^2+x+1=(x+1)\times x+1$
$f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$
2. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$ : la droite $y=x$ est asymptote oblique en $\pm\infty$.
$f(x)-x=\dfrac{1}{x+1}$ : $(C_f)$ au-dessus de $y=x$ si $x>-1$, au-dessous si $x<-1$
Correction 3
💡 $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ puis $b=\lim\left[f(x)-ax\right]$ (conjugué).
Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\to1$ : $a=1$.
$f(x)-x=\dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to0$ : $b=0$.
La droite $y=x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$
Correction 4
💡 $\lim f=\pm\infty$ : on calcule $\lim\dfrac{f(x)}{x}$, puis si elle vaut $a\neq0$, $\lim\left[f(x)-ax\right]$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to1$ ; $f(x)-x=\sqrt{x}\to+\infty$.
$(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite $y=x$
$\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ ; $\dfrac{g(x)}{x}=x^2+1\to+\infty$.
$(C_g)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
Correction 5
💡 Centre $\Omega(a;b)$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$ ; axe $x=a$ : $2a-x\in D_g$ et $g(2a-x)=g(x)$.
1. Condition 1 : $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ ; si $x\neq1$ alors $2-x\neq1$ ✔.
Condition 2 : $f(2-x)=\dfrac{3-x}{1-x}=\dfrac{x-3}{x-1}$, donc $f(2-x)+f(x)=\dfrac{x-3+x+1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}=2$ ✔.
$\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$
2. Condition 1 : $D_g=\mathbb{R}$, donc $6-x\in D_g$ ✔.
Condition 2 : $g(6-x)=(6-x)^2-6(6-x)+5=x^2-6x+5=g(x)$ ✔.
La droite $x=3$ est un axe de symétrie de $(C_g)$
Correction 6
💡 Signe de $f’’$ ; point d'inflexion : $f’’$ s'annule en changeant de signe.
$f’(x)=3x^2+6x$ et $f’’(x)=6x+6$
$f’’(x)=0\iff x=-1$ ; $f’’<0$ sur $]-\infty;-1[$ et $f’’>0$ sur $]-1;+\infty[$.
Concavité vers les ordonnées négatives sur $]-\infty;-1]$, positives sur $[-1;+\infty[$ ; $f(-1)=-1+3-2=0$.
$I(-1;0)$ est le point d'inflexion de $(C_f)$
Correction 7
💡 Plan d'étude : limites et branches, dérivée et signe, variations, $f’’$, intersections, lecture graphique.
1. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty$ ; $\dfrac{f(x)}{x}=x^2-3x+\dfrac{4}{x}\to+\infty$ : branches paraboliques de direction $(Oy)$.
2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f’(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ ; $f’(x)=0\iff x=0$ ou $x=2$ ; $f(0)=4$ et $f(2)=0$.
3. $f’’(x)=6x-6$ s'annule en $1$ en changeant de signe ; $f(1)=2$ :
point d'inflexion $I(1;2)$
4. $(x-2)^2(x+1)=(x^2-4x+4)(x+1)=x^3-3x^2+4$ ✔ ; $f(x)=0\iff x=2$ ou $x=-1$.
$(C_f)$ coupe $(Ox)$ en $A(-1;0)$ et le touche en $B(2;0)$
5. D'après le tableau : $m<0$ ou $m>4$ : une solution ; $m=0$ ou $m=4$ : deux solutions ;
$0<m<4$ : trois solutions
Correction 8
💡 La forme $ax+b+\dfrac{c}{x-2}$ donne directement les asymptotes, la dérivée et la symétrie.
1. $(x-2)(x-1)+4=x^2-3x+2+4=x^2-3x+6$ ✔.
En $2$ : $\dfrac{4}{x-2}\to\pm\infty$ : asymptote verticale $x=2$ ; en $\pm\infty$ : $f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{x-2}\to0$ : asymptote oblique $y=x-1$.
2. $f$ est dérivable sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$ : $f’(x)=1-\dfrac{4}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-4}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$
$f’(x)=0\iff x=0$ ou $x=4$ ; $f(0)=-3$ et $f(4)=5$.
3. Condition 1 : $x\neq2\Rightarrow4-x\neq2$ ✔. Condition 2 : $f(4-x)+f(x)=(3-x)+\dfrac{4}{2-x}+(x-1)+\dfrac{4}{x-2}=2$ ✔.
$\Omega(2;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$