Branches infinies
Asymptotes verticales et horizontales (rappel)
Propriété
- $\lim\limits_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ ⇒ la droite $x=a$ est une asymptote verticale ;
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ ⇒ la droite $y=b$ est une asymptote horizontale au voisinage de $\pm\infty$.
>> Position de $(C_f)$ par rapport à $y=b$ : on étudie le signe de $f(x)-b$ (positif : au-dessus ; négatif : au-dessous).
Exemple
$f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$, $D_f=\mathbb{R}-\{-2\}$.
- En $-2$ : numérateur $\to-7$, forme « $\dfrac{-7}{0}$ » : $\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to-2^-}f(x)=+\infty$ : asymptote verticale $x=-2$.
- En $\pm\infty$ : $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x}{x}=3$ : asymptote horizontale $y=3$.
$f(x)-3=\dfrac{3x-1-3(x+2)}{x+2}=\dfrac{-7}{x+2}$
Si $x>-2$ : $f(x)-3<0$, $(C_f)$ est au-dessous de $y=3$ ; si $x<-2$ : $(C_f)$ est au-dessus
Asymptote oblique
Définition
La droite $(\Delta):y=ax+b$ ($a\neq0$) est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ si :
$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$
(de même au voisinage de $-\infty$).
Méthode Trouver une asymptote oblique
- Si on peut écrire $f(x)=ax+b+g(x)$ avec $\lim g=0$, alors $y=ax+b$ est asymptote oblique.
- Sinon : on calcule $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ ($a\neq0$) puis $b=\lim[f(x)-ax]$.
- Position : signe de $f(x)-(ax+b)$.
Exemple
$f(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$. La division euclidienne donne $2x^2-x+3=(x-1)(2x+1)+4$, donc :
$f(x)=2x+1+\dfrac{4}{x-1}$
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x-1}=0$ : la droite $y=2x+1$ est asymptote oblique en $\pm\infty$.
$f(x)-(2x+1)=\dfrac{4}{x-1}$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ pour $x>1$ et au-dessous pour $x<1$
Branches paraboliques
Propriété
Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$, on calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ :
- $=\pm\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées ;
- $=0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses ;
- $=a\neq0$ : on calcule $\lim[f(x)-ax]$ : si elle vaut $b$, asymptote oblique $y=ax+b$ ; si elle vaut $\pm\infty$, branche parabolique de direction la droite $y=ax$.
Exemple
- $f(x)=x^3-x$ : $\dfrac{f(x)}{x}=x^2-1\to+\infty$ : direction $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$.
- $g(x)=\sqrt{x}$ : $\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ : direction $(Ox)$.
- $h(x)=2x-\sqrt{x}$ : $\dfrac{h(x)}{x}=2-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to2$ et $h(x)-2x=-\sqrt{x}\to-\infty$.
$(C_h)$ admet une branche parabolique de direction la droite $y=2x$ au voisinage de $+\infty$
Éléments de symétrie — Réduction du domaine d’étude
Propriété
- La droite $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ si : 1) $(\forall x\in D_f)$ $2a-x\in D_f$ ; 2) $(\forall x\in D_f)$ $f(2a-x)=f(x)$.
- Le point $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si : 1) $(\forall x\in D_f)$ $2a-x\in D_f$ ; 2) $(\forall x\in D_f)$ $f(2a-x)+f(x)=2b$.
>> Réduction : avec un élément de symétrie (ou si $f$ est paire, impaire), on étudie $f$ sur la moitié de $D_f$ puis on complète par symétrie ; si $f$ est périodique de période $T$, on l’étudie sur un intervalle de longueur $T$.
Exemple
Montrer que $\Omega(-1;-1)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$.
Condition 1 : $D_f=\mathbb{R}-\{-1\}$ ; si $x\neq-1$, alors $-2-x\neq-1$, donc $2a-x=-2-x\in D_f$ ✔.
Condition 2 :
$f(-2-x)=-2-x+\dfrac{1}{-1-x}=-2-x-\dfrac{1}{x+1}$
$f(-2-x)+f(x)=-2-x-\dfrac{1}{x+1}+x+\dfrac{1}{x+1}$
$=-2=2\times(-1)$ ✔
Les deux conditions sont vérifiées : $\Omega(-1;-1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$
Concavité — Points d’inflexion
Définition
Si $f'$ est dérivable sur $I$, sa dérivée est la dérivée seconde de $f$, notée $f''$.
Propriété
- $f''\geq0$ sur $I$ : la concavité de $(C_f)$ est tournée vers les ordonnées positives ; la courbe est au-dessus de ses tangentes ;
- $f''\leq0$ sur $I$ : la concavité est tournée vers les ordonnées négatives ; la courbe est au-dessous de ses tangentes ;
- si $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe, $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion : la courbe traverse sa tangente en $A$.
Exemple
$f(x)=x^3-3x^2+1$ : polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)=3x^2-6x$ et $f''(x)=6x-6$
$f''(x)=0\iff6x-6=0\iff x=1$
$f''$ s’annule en $1$ en changeant de signe : $I(1;-1)$ est un point d’inflexion de $(C_f)$
Plan d’étude d’une fonction
Méthode
1. Ensemble de définition $D_f$ ; réduction éventuelle (parité, périodicité, symétrie).
2. Limites aux bornes de $D_f$ ; branches infinies (asymptotes, branches paraboliques).
3. Dérivabilité (et pourquoi), calcul de $f'(x)$, résolution de $f'(x)=0$, tableau de signes.
4. Tableau de variations (avec les extremums).
5. Éventuellement : $f''$, concavité, points d’inflexion ; intersections avec les axes ; position par rapport aux asymptotes.
6. Courbe : asymptotes et tangentes d’abord, puis quelques points (tableau de valeurs).
Étude d’une fonction polynôme
Exemple $f(x)=x^3-3x+2$
1. $f$ est un polynôme : $D_f=\mathbb{R}$.
2. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty$ ; $\dfrac{f(x)}{x}=x^2-3+\dfrac{2}{x}\to+\infty$ : branches paraboliques de direction $(Oy)$.
3. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (polynôme) : $f'(x)=3x^2-3$.
$f'(x)=0\iff x^2=1$
$\iff x=-1$ ou $x=1$
4. $f(-1)=-1+3+2=4$ et $f(1)=1-3+2=0$.
5. $f''(x)=6x$ s’annule en $0$ en changeant de signe : point d’inflexion $I(0;2)$. De plus $f(x)=(x-1)^2(x+2)$ : $(C_f)$ coupe $(Ox)$ en $A(-2;0)$ et touche $(Ox)$ en $N(1;0)$.
Étude d’une fonction rationnelle
Exemple $f(x)=x+\dfrac{1}{x+1}$
1. $D_f=\mathbb{R}-\{-1\}$.
2. En $-1$ : $\lim\limits_{x\to-1^+}\dfrac{1}{x+1}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-1^-}\dfrac{1}{x+1}=-\infty$, donc $\lim\limits_{x\to-1^\pm}f(x)=\pm\infty$ : asymptote verticale $x=-1$.
En $\pm\infty$ : $\lim f(x)=\pm\infty$ et $f(x)-x=\dfrac{1}{x+1}\to0$ : asymptote oblique $y=x$ ; $(C_f)$ au-dessus pour $x>-1$, au-dessous pour $x<-1$.
3. $f$ est dérivable sur $]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$ :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$
$f'(x)=0\iff x(x+2)=0$
$\iff x=0$ ou $x=-2$
4. $f(-2)=-2-1=-3$ et $f(0)=1$.
5. D’après II, $\Omega(-1;-1)$ est centre de symétrie.
Étude d’une fonction irrationnelle
Exemple $f(x)=x-2\sqrt{x}$
1. $D_f=[0;+\infty[$.
**Dérivabilité à droite en $0$** : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to-\infty$ : $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ ; demi-tangente verticale en $O$.
2. $f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\to+\infty$ ; $\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to1$ et $f(x)-x=-2\sqrt{x}\to-\infty$ : branche parabolique de direction $y=x$.
3. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ :
$f'(x)=1-\dfrac{2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$
$f'(x)=0\iff\sqrt{x}=1\iff x=1$
Minimum $f(1)=-1$ ; $f(x)=0\iff\sqrt{x}=0$ ou $\sqrt{x}=2$ : $(C_f)$ coupe $(Ox)$ en $O(0;0)$ et $A(4;0)$
Étude d’une fonction trigonométrique
Exemple $f(x)=\sin x\,(1+\cos x)$
Réduction : $f$ est $2\pi$-périodique et impaire ($f(-x)=-\sin x(1+\cos x)=-f(x)$) : on l’étudie sur $[0;\pi]$.
$f'(x)=\cos x(1+\cos x)-\sin^2x$
$=\cos x+\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x+\cos x-1$
$=(2\cos x-1)(\cos x+1)$
Sur $[0;\pi]$ : $\cos x+1\geq0$, et $2\cos x-1\geq0\iff\cos x\geq\dfrac{1}{2}\iff x\in\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]$.
$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
On complète par symétrie par rapport à $O$ sur $[-\pi;0]$, puis par périodicité
Utilisation de la courbe
Méthode
- Les solutions de $f(x)=m$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et de la droite $y=m$.
- Les solutions de $f(x)\geq g(x)$ sont les abscisses des points où $(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$.
Exemple
Nombre de solutions de $x^3-3x+2=m$ selon $m$ (courbe et tableau de V) :
- $m<0$ ou $m>4$ : une solution ;
- $m=0$ ou $m=4$ : deux solutions ;
- $0<m<4$ : trois solutions.
À retenir
- Asymptote oblique : $f(x)=ax+b+g(x)$ avec $g\to0$, ou $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ et $b=\lim[f(x)-ax]$ ; position : signe de $f(x)-(ax+b)$.
- $\dfrac{f(x)}{x}\to\pm\infty$ : direction $(Oy)$ ; $\to0$ : direction $(Ox)$ ; $\to a$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$ : direction $y=ax$.
- Centre $\Omega(a;b)$ : $f(2a-x)+f(x)=2b$ ; axe $x=a$ : $f(2a-x)=f(x)$.
- Point d’inflexion : $f''$ s’annule en changeant de signe.