ملخص Étude et représentation graphique d'une fonction numérique — الأولى باك علوم تجريبية

ملخص «Étude et représentation graphique d'une fonction numérique» لتلاميذ الأولى باك علوم تجريبية بالفرنسية والعربية: Asymptotes - Branches paraboliques - Symétries - Concavité - Inflexion - Plan d'étude. Résumé Étude et représentation graphique d'une fonction numérique — 1ère année Bac sciences…

📖 حل فـ MathsClick (الورقة بخط اليد، بالعربية والفرنسية)

Branches infinies

Propriété Asymptotes

  • $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ⇒ $x=a$ asymptote verticale.
  • $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ ⇒ $y=b$ asymptote horizontale.

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ ⇒ $y=ax+b$ asymptote oblique

Méthode Trouver $a$ et $b$

  • $a=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis $b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax]$.
  • Position : signe de $f(x)-(ax+b)$.

Propriété Branches paraboliques ($\lim f=\pm\infty$)

  • $\dfrac{f(x)}{x}\to\pm\infty$ : direction de l'axe des ordonnées.
  • $\dfrac{f(x)}{x}\to0$ : direction de l'axe des abscisses.
  • $\dfrac{f(x)}{x}\to a$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$ : direction $y=ax$.

Éléments de symétrie

Propriété Conditions

  • $x=a$ axe de symétrie : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
  • $\Omega(a;b)$ centre de symétrie : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

Concavité et point d'inflexion

Propriété Concavité

  • $f''\geq0$ sur $I$ : courbe convexe ; $f''\leq0$ : courbe concave.
  • $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe ⇒ $A(a;f(a))$ point d'inflexion.

Plan d'étude

Méthode Les étapes

  • Domaine de définition, parité ou périodicité éventuelle.
  • Limites aux bornes et branches infinies.
  • Dérivée, signe de $f'$, tableau de variations.
  • Points particuliers, tangentes, puis tracé de la courbe.

Erreur fréquente Erreurs fréquentes

  • Conclure à une asymptote oblique sans calculer $b$.
  • Oublier les conditions sur le domaine pour la symétrie.

À retenir À retenir

  • L'étude des limites donne les asymptotes ; le signe de $f''$ donne la concavité.

النسخة العربية

الفروع اللانهائية

خاصية المقاربات

  • $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ⇐ $x=a$ مقارب عمودي.
  • $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ ⇐ $y=b$ مقارب أفقي.

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ ⇐ $y=ax+b$ مقارب مائل

طريقة إيجاد $a$ و $b$

  • $a=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ ثم $b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-ax]$.
  • الوضع النسبي : إشارة $f(x)-(ax+b)$.

خاصية الفروع الشلجمية ($\lim f=\pm\infty$)

  • $\dfrac{f(x)}{x}\to\pm\infty$ : في اتجاه محور الأراتيب.
  • $\dfrac{f(x)}{x}\to0$ : في اتجاه محور الأفاصيل.
  • $\dfrac{f(x)}{x}\to a$ و $f(x)-ax\to\pm\infty$ : في اتجاه $y=ax$.

عناصر التماثل

خاصية الشروط

  • $x=a$ محور تماثل : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ و $f(2a-x)=f(x)$.
  • $\Omega(a;b)$ مركز تماثل : $(\forall x\in D_f)\ 2a-x\in D_f$ و $f(2a-x)+f(x)=2b$.

التقعر ونقطة الانعطاف

خاصية التقعر

  • $f''\geq0$ على $I$ : المنحنى محدب ؛ $f''\leq0$ : المنحنى مقعر.
  • $f''$ تنعدم في $a$ مع تغيير الإشارة ⇐ $A(a;f(a))$ نقطة انعطاف.

خطوات الدراسة

طريقة المراحل

  • مجموعة التعريف، والزوجية أو الدورية إن وجدت.
  • النهايات عند الأطراف والفروع اللانهائية.
  • المشتقة، إشارة $f'$، جدول التغيرات.
  • نقط خاصة، المماسات، ثم إنشاء المنحنى.

خطأ شائع أخطاء شائعة

  • استنتاج مقارب مائل دون حساب $b$.
  • نسيان شروط مجموعة التعريف في التماثل.

للحفظ أحفظ

  • دراسة النهايات تعطي المقاربات ؛ إشارة $f''$ تعطي التقعر.

فنفس الدرس

← كل الدروس والفروض ديال الأولى باك علوم تجريبية