Niveau 1 — Exercices par paragraphe du cours
Exercice 1 ★
Nombre dérivé (§ I). Étudier la dérivabilité de $f(x)=x^2-3x$ en $a=1$ à l'aide du taux de variation.
Exercice 2 ★
Taux avec une racine (§ I). Étudier la dérivabilité de $g(x)=\sqrt{2x+1}$ en $a=4$.
Exercice 3 ★
Tangente et approximation (§ II). Soit $f(x)=x^3-x$.
1. Déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$.
2. En déduire une valeur approchée de $f(2{,}01)$.
Exercice 4 ★
Dérivabilité à droite et à gauche (§ III). Soit $f(x)=|x^2-1|$. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et interpréter géométriquement.
Exercice 5 ★
Produit et quotient (§ V). Calculer la dérivée de $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ et de $g(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$, en précisant la dérivabilité.
Exercice 6 ★
Puissance et racine (§ V). Calculer la dérivée de $h(x)=(x^2-2x)^3$ et de $k(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$.
Exercice 7 ★
Fonctions trigonométriques (§ VI). Calculer la dérivée de $f(x)=\cos(3x-1)$, $g(x)=\sin^2x$ et $h(x)=\tan2x$.
Exercice 8 ★
Variations (§ VII). Étudier les variations de $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 9 ★
Extremum et inégalité (§ VIII–IX). Soit $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ sur $]0;+\infty[$.
1. Étudier les variations de $f$ et déterminer son minimum.
2. En déduire que $(\forall x>0)\ x+\dfrac{4}{x}\geq4$.
Niveau 2 — J'approfondis : je raisonne et je justifie
Exercice 10 ★★
Inégalité. Montrer que $(\forall x\geq0)\ \sqrt{1+x}\leq1+\dfrac{x}{2}$.
Niveau 3 — Vers le devoir : exercices de synthèse
Exercice 11 ★★★
Soit $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$.
1. Calculer les limites de $f$ en $\pm\infty$ et en $1$ (à droite et à gauche).
2. Calculer $f’(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$.
Corrections
Correction 1
💡 $f’(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ si cette limite est finie ; on simplifie le taux avant de calculer la limite.
$f(1)=-2$ ; $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$
$\lim\limits_{x\to1}(x-2)=-1$ (limite finie)
$f$ est dérivable en $1$ et $f’(1)=-1$
Correction 2
💡 Le taux donne « $\dfrac{0}{0}$ » avec une racine : on multiplie par le conjugué.
$\dfrac{g(x)-g(4)}{x-4}=\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}=\dfrac{2x+1-9}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+3}$
$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+3}=\dfrac{2}{6}$ : $g$ est dérivable en $4$ et $g’(4)=\dfrac{1}{3}$
Correction 3
💡 $(T):y=f’(a)(x-a)+f(a)$ ; approximation affine : $f(a+h)\approx f(a)+h\,f’(a)$.
1. Dérivabilité : $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f’(x)=3x^2-1$.
$f(2)=6$ et $f’(2)=11$ : $(T):y=11(x-2)+6$
$(T):\ y=11x-16$
2.
$f(2{,}01)\approx f(2)+0{,}01\times f’(2)=6+0{,}11=6{,}11$
Correction 4
💡 On enlève la valeur absolue de chaque côté de $1$, puis on calcule $f’_d(1)$ et $f’_g(1)$.
Au voisinage de $1$ : si $x>1$, $f(x)=x^2-1$ ; si $x<1$ (et $x>-1$), $f(x)=1-x^2$ ; $f(1)=0$.
- $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2$ quand $x\to1^+$ : $f’_d(1)=2$ ;
- $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{1-x^2}{x-1}=-(x+1)\to-2$ quand $x\to1^-$ : $f’_g(1)=-2$.
$f’_d(1)\neq f’_g(1)$ : $f$ n'est pas dérivable en $1$ ; la courbe a un point anguleux en $A(1;0)$ (deux demi-tangentes de pentes $2$ et $-2$)
Correction 5
💡 Dérivabilité d'abord ; puis $(uv)’=u’v+uv’$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$.
$f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f’(x)=2x(3x-2)+3(x^2+1)$
$f’(x)=9x^2-4x+3$
$g$ est dérivable sur $]-\infty;-3[$ et sur $]-3;+\infty[$ (dénominateur non nul) :
$g’(x)=\dfrac{2(x+3)-(2x-1)\times1}{(x+3)^2}$
$g’(x)=\dfrac{7}{(x+3)^2}$
Correction 6
💡 $(u^n)’=nu’u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})’=\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$ si $u>0$ et dérivable.
$h$ est un polynôme (dérivable sur $\mathbb{R}$), $u=x^2-2x$, $u’=2x-2$ :
$h’(x)=3(2x-2)(x^2-2x)^2=6(x-1)(x^2-2x)^2$
$u=x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$k’(x)=\dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}$
Correction 7
💡 $(\cos(ax+b))’=-a\sin(ax+b)$ ; $(u^2)’=2u’u$ ; $(\tan(ax+b))’=a\left(1+\tan^2(ax+b)\right)$.
$f’(x)=-3\sin(3x-1)$
$g’(x)=2\cos x\sin x=\sin2x$
$h’(x)=2\left(1+\tan^22x\right)$ (là où $\tan2x$ est définie)
Correction 8
💡 Dérivabilité, $f’(x)$, on résout $f’(x)=0$, tableau de signes, tableau de variations.
Dérivabilité : polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f’(x)=3x^2-12x+9$.
$f’(x)=0\iff3(x^2-4x+3)=0$
$\iff(x-1)(x-3)=0$
$\iff x=1$ ou $x=3$
$f(1)=1-6+9+1=5$ ; $f(3)=27-54+27+1=1$ ; $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty$.
$f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ et sur $[3;+\infty[$, décroissante sur $[1;3]$
Correction 9
💡 Un extremum en $a$ : $f’$ s'annule en $a$ en changeant de signe.
1. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ : $f’(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$
$f’(x)=0\iff x=2$ (car $x>0$) ; $f’<0$ sur $]0;2[$ et $f’>0$ sur $]2;+\infty[$.
$f$ est décroissante sur $]0;2]$, croissante sur $[2;+\infty[$ ; minimum $f(2)=4$
2.
Le minimum de $f$ est $4$ : $(\forall x>0)\ x+\dfrac{4}{x}\geq4$
Correction 10
💡 On étudie $h(x)=1+\dfrac{x}{2}-\sqrt{1+x}$ et on montre que $h\geq0$ (variations + valeur en $0$).
$h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ ($1+x>0$) : $h’(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}$
Pour $x\geq0$ : $\sqrt{1+x}\geq1$, donc $h’(x)\geq0$ : $h$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
Donc $h(x)\geq h(0)=1+0-1=0$.
$(\forall x\geq0)\ \sqrt{1+x}\leq1+\dfrac{x}{2}$
Correction 11
💡 Limites : propriété du cours en $\pm\infty$, « $\dfrac{4}{0}$ » en $1$ (signe) ; variations : dérivabilité, $f’(x)=0$, signes.
1. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty$
En $1$ : numérateur $\to4$, $x-1\to0^\pm$ : $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$.
2. $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$ : $f’(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$
$f’(x)=0\iff x^2-2x-3=0\iff(x+1)(x-3)=0\iff x=-1$ ou $x=3$ ; $f(-1)=-2$ et $f(3)=6$.
3. $f(2)=7$ et $f’(2)=\dfrac{4-4-3}{1}=-3$ : $y=-3(x-2)+7$
$(T):\ y=-3x+13$