Dérivabilité en un point
Définition Nombre dérivé
$f$ est dérivable en $a$ si $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell\in\mathbb{R}$ ; on note $f'(a)=\ell$
- Dérivable à droite / à gauche : même limite quand $x\to a^+$ / $x\to a^-$.
- $f$ dérivable en $a\iff f'_d(a)=f'_g(a)$.
Formules Tangente et approximation
- Tangente en $A(a;f(a))$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
- Approximation affine : $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ pour $h$ proche de $0$.
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : deux demi-tangentes (point anguleux).
Dérivées usuelles et opérations
Formules Dérivées usuelles
- $(k)'=0$ ; $(x^n)'=nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
- $(\sin x)'=\cos x$ ; $(\cos x)'=-\sin x$ ; $(\tan x)'=1+\tan^2x$
Formules Opérations
- $(u+v)'=u'+v'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
- $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ ($u>0$) ; $(f(ax+b))'=af'(ax+b)$
Méthode Avant de dériver
- On écrit : « $f$ est dérivable sur $I$ car … (polynôme, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, $u>0$…) ».
Dérivée et variations
Méthode Étudier les variations
- Étape 1 : calculer $f'(x)$.
- Étape 2 : résoudre $f'(x)=0$ et dresser le tableau de signe de $f'$.
- Étape 3 : $f'\geq0$ ⇒ $f$ croissante ; $f'\leq0$ ⇒ $f$ décroissante ; puis le tableau de variations.
Propriété Extremums
- Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f(a)$ est un extremum.
- Inégalité : on étudie $g=f_1-f_2$ et on utilise son minimum.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Oublier de justifier la dérivabilité.
- Confondre le signe de $f'$ avec le signe de $f$.
À retenir À retenir
- $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$.
- Signe de $f'$ ⇒ variations de $f$.