Dérivabilité en un point — Nombre dérivé
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$.
$f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell$
Ce réel $\ell$ s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.
Méthode
1. On écrit le taux de variation $T(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
2. On le simplifie (factorisation, réduction au même dénominateur, conjugué).
3. On calcule sa limite quand $x\to a$ : si elle est finie, c’est $f'(a)$.
Exemple Polynôme
$f(x)=x^2$ en $a=3$ :
$\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$
$\lim\limits_{x\to3}(x+3)=6$, donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=6$
Exemple Fonction inverse
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ en $a=2$ :
$\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}}{x-2}=\dfrac{2-x}{2x(x-2)}$
$=-\dfrac{1}{2x}$
$\lim\limits_{x\to2}\left(-\dfrac{1}{2x}\right)=-\dfrac{1}{4}$ : $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$
Exemple Avec une racine (conjugué)
$g(x)=\sqrt{x+1}$ en $a=3$ :
$\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3}=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}$
$g'(3)=\dfrac{1}{4}$
Interprétation géométrique — Approximation affine
Propriété Tangente
Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $(C_f)$ admet au point $A(a;f(a))$ une tangente de coefficient directeur $f'(a)$, d’équation :
$(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Exemple
$f(x)=x^3-2x$ : tangente au point d’abscisse $1$.
$f(1)=1-2=-1$
$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^3-2(1+h)+1}{h}=\dfrac{h+3h^2+h^3}{h}$
$=1+3h+h^2$
$\lim\limits_{h\to0}(1+3h+h^2)=1$, donc $f'(1)=1$.
$(T):\ y=1\times(x-1)+(-1)$
$(T):\ y=x-2$
Propriété Approximation affine
Pour $h$ proche de $0$ : $f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)$.
Exemple : $f(x)=\sqrt{x}$, $f(1)=1$ et $f'(1)=\dfrac{1}{2}$, donc $\sqrt{1+h}\approx1+\dfrac{h}{2}$.
$\sqrt{1{,}02}\approx1+\dfrac{0{,}02}{2}=1{,}01$
Dérivabilité à droite, à gauche — Demi-tangentes
Définition
- $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'_d(a)$ existe et est finie ;
- à gauche de même avec $x\to a^-$ : $f'_g(a)$.
$f$ est dérivable en $a\iff f'_d(a)=f'_g(a)$
Remarque Interprétation
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : deux demi-tangentes différentes en $A$ (point anguleux) ;
- taux de variation qui tend vers $\pm\infty$ : demi-tangente verticale en $A$ (vers le haut si $+\infty$ à droite).
Exemple Point anguleux
$f(x)=|x-1|$ en $1$ : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{|x-1|}{x-1}$.
- Si $x>1$ : il vaut $1$, donc $f'_d(1)=1$ ;
- si $x<1$ : il vaut $-1$, donc $f'_g(1)=-1$.
$f'_d(1)\neq f'_g(1)$ : $f$ n’est pas dérivable en $1$ ; $(C_f)$ a un point anguleux en $A(1;0)$
Exemple Demi-tangente verticale
$g(x)=\sqrt{x}$ à droite en $0$ : $\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ (limite infinie).
$g$ n’est pas dérivable à droite en $0$ ; $(C_g)$ admet en $O$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut
Fonction dérivée — Dérivées usuelles
Définition
$f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction $f':x\mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$.
Propriété Dérivées usuelles
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Intervalle |
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0;+\infty[$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
Opérations sur les fonctions dérivables
Propriété
Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ (et $v$ ne s’annule pas sur $I$ pour les quotients) :
| Fonction | Dérivée |
| $u+v$ | $u'+v'$ |
| $ku$ | $ku'$ |
| $uv$ | $u'v+uv'$ |
| $\dfrac{1}{v}$ | $-\dfrac{v'}{v^2}$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ |
| $u^n$ | $nu'u^{n-1}$ |
| $\sqrt{u}$ ($u>0$) | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $x\mapsto f(ax+b)$ | $x\mapsto a\,f'(ax+b)$ |
>> Conséquences : un polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; une fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle de son ensemble de définition.
Méthode Calculer une dérivée
1. Dérivabilité : « $f$ est dérivable sur $I$ car … » (polynôme / quotient dont le dénominateur ne s’annule pas / $u>0$ et dérivable).
2. On reconnaît la forme ($uv$, $\dfrac{u}{v}$, $u^n$, $\sqrt{u}$…) et on applique la règle.
3. On calcule ligne après ligne et on simplifie.
Exemple Produit
$f(x)=(2x-1)(x^2+3)$ : $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ (forme $uv$) :
$f'(x)=2(x^2+3)+(2x-1)\times2x$
$=2x^2+6+4x^2-2x$
$f'(x)=6x^2-2x+6$
Exemple Quotient
$g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ : $g$ est dérivable sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$ car le dénominateur ne s’annule pas. Pour $x\neq2$ (forme $\dfrac{u}{v}$) :
$g'(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}$
$g'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$
Exemple Puissance et racine
$h(x)=(3x^2-1)^4$ : polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ ; forme $u^n$ avec $u=3x^2-1$ et $u'=6x$ :
$h'(x)=4\times6x\times(3x^2-1)^3=24x(3x^2-1)^3$
$k(x)=\sqrt{x^2+1}$ : $u=x^2+1>0$ et dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (forme $\sqrt{u}$) :
$k'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
Erreur fréquente
- $(uv)'\neq u'v'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)'\neq\dfrac{u'}{v'}$.
- Oublier $u'$ dans $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ et dans $(\sqrt{u})'$.
Dérivées des fonctions trigonométriques
Propriété
Pour $a\neq0$ et $b\in\mathbb{R}$, pour tout $x$ où les fonctions sont définies :
- $(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)$
- $(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)$
- $(\tan(ax+b))'=a(1+\tan^2(ax+b))$
Exemple
$f(x)=\sin2x+\cos^2x$, dérivable sur $\mathbb{R}$ ($\cos^2x=u^2$ avec $u=\cos x$) :
$f'(x)=2\cos2x+2\times(-\sin x)\times\cos x$
$f'(x)=2\cos2x-\sin2x$
$g(x)=x\cos x$ (forme $uv$) :
$g'(x)=\cos x-x\sin x$
Dérivée et sens de variation
Théorème
Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :
- si $f'\geq0$ sur $I$ (et ne s’annule qu’en un nombre fini de points), $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
- si $f'\leq0$ sur $I$ (même condition), $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
- si $f'=0$ sur $I$, $f$ est constante sur $I$.
Méthode Étudier les variations
1. Dérivabilité (et pourquoi), puis calcul de $f'(x)$ ligne après ligne.
2. On résout $f'(x)=0$ équivalence après équivalence.
3. On dresse le tableau de signes de $f'(x)$.
4. On en déduit le tableau de variations de $f$.
Exemple $f(x)=x^3-3x+1$
Dérivabilité : $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
$f'(x)=3x^2-3$
On résout $f'(x)=0$ :
$f'(x)=0\iff3x^2-3=0$
$\iff x^2=1$
$\iff x=-1$ ou $x=1$
Signe : $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ est un trinôme de coefficient $3>0$ : positif à l’extérieur des racines.
$f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$ ; $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty$.
Exemple $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$
Dérivabilité : $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$ (dénominateur non nul). Pour $x\neq1$ :
$f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-x^2\times1}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
$f'(x)=0\iff x(x-2)=0$
$\iff x=0$ ou $x=2$
$(x-1)^2>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x(x-2)$. $f(0)=0$ et $f(2)=4$.
Extremums d’une fonction
Propriété
Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ :
- si $f$ admet un extremum relatif en $a$, alors $f'(a)=0$ ;
- si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum relatif de $f$.
Remarque
[!] $f'(a)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ mais $f'$ ne change pas de signe : pas d’extremum en $0$.
Exemple
Pour $f(x)=x^3-3x+1$ (VII) : $f'$ s’annule en $-1$ et en $1$ en changeant de signe.
$f(-1)=3$ est un maximum relatif et $f(1)=-1$ un minimum relatif
Applications : inégalités et optimisation
Méthode
- Pour montrer $f(x)\geq g(x)$ sur $I$ : on étudie les variations de $h=f-g$ et on montre que son minimum est positif.
- Optimisation : on exprime la grandeur en fonction d’une variable, puis on cherche son extremum.
Exemple Une inégalité
Montrer que $(\forall x\geq0)\ \sin x\leq x$. Soit $h(x)=x-\sin x$, dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$h'(x)=1-\cos x\geq0$
donc $h$ est croissante sur $[0;+\infty[$ et $h(x)\geq h(0)=0$.
$(\forall x\geq0)\ \sin x\leq x$
Application Optimisation
Parmi les rectangles de périmètre $20$, lequel a la plus grande aire ?
Réponse
Côtés $x$ et $10-x$ avec $x\in]0;10[$ : aire $A(x)=x(10-x)=10x-x^2$.
$A'(x)=10-2x$
$A'(x)=0\iff x=5$
$A'(x)>0$ si $x<5$ et $A'(x)<0$ si $x>5$ : maximum en $5$.
Le carré de côté $5$, d’aire maximale $25$
À retenir
- $f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ; tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
- Avant toute dérivée : « $f$ est dérivable sur $I$ car … ».
- $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ; $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- Variations : $f'(x)=0$, tableau de signes, tableau de variations ; extremum si $f'$ s’annule en changeant de signe.