سلسلة تمارين مصححة Barycentre dans le plan — الأولى باك علوم تجريبية

Correction 1

💡 Le barycentre existe si la somme des coefficients est non nulle ; on le place avec $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$ (coefficient de $B$ au numérateur).

1. $3+1=4\neq0$ et $1+(-3)=-2\neq0$ :

$G_1$ et $G_2$ existent.

2. $\overrightarrow{AG_1}=\dfrac{1}{3+1}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ : $G_1\in[AB]$ avec $AG_1=2$ cm.

$\overrightarrow{AG_2}=\dfrac{-3}{1+(-3)}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ : $G_2$ est sur $(AB)$, au-delà de $B$, avec $AG_2=12$ cm.

Correction 2

💡 Si $\alpha+\beta\neq0$ : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$ ; si $\alpha+\beta=0$ : pas de barycentre, on utilise Chasles.

1. $2+(-5)=-3\neq0$ : soit $G$ = Bar$\{(A;2),(B;-5)\}$.

$\vec{u}=-3\overrightarrow{MG}$

2. $1+(-1)=0$ : $\vec{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}$

$\vec{v}=\overrightarrow{BA}$ : vecteur constant, indépendant de $M$

Correction 3

💡 $x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}$ et $y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}$.

1. $x_G=\dfrac{2\times2+1\times(-1)}{3}=\dfrac{3}{3}=1$

$y_G=\dfrac{2\times(-1)+1\times5}{3}=\dfrac{3}{3}=1$

$G(1;1)$

2. $\overrightarrow{AB}(-3;6)$ donc $\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}(-1;2)$ ; et $\overrightarrow{AG}(1-2;1+1)=(-1;2)$.

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ✔

Correction 4

💡 On fait apparaître $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ avec la relation de Chasles, pour obtenir $\alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}=\vec{0}$.

$3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\iff3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}$

$\iff\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{CB}=\vec{0}$

$\iff\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}=\vec{0}$

$C$ = Bar$\{(A;1),(B;2)\}$

Correction 5

💡 On remplace deux points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs coefficients.

1. $1+1=2\neq0$ et $I$ = Bar$\{(B;1),(C;1)\}$ (milieu de $[BC]$).

Par associativité : $G$ = Bar$\{(A;2),(I;2)\}$.

Les coefficients sont égaux : $G$ est le milieu de $[AI]$

2. On place $I$, milieu de $[BC]$, puis $G$, milieu de $[AI]$.

Correction 6

💡 Trois points sont alignés si l'un est barycentre des deux autres.

$2+3=5\neq0$ : par associativité, $G$ = Bar$\{(A;1),(K;5)\}$.

$G$ est barycentre de $A$ et $K$ : $A$, $G$, $K$ sont alignés

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{5}{1+5}\overrightarrow{AK}$

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AK}$

Correction 7

💡 On réduit la somme avec le barycentre, puis on reconnaît l'ensemble ($MG=r$ : cercle).

$1+3=4\neq0$ : soit $G$ = Bar$\{(A;1),(B;3)\}$, donc $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MG}$.

$\|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=8\iff4MG=8$

$\iff MG=2$

$(\Gamma)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $2$ (avec $\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$)

Correction 8

💡 On écrit la relation de définition, puis on regroupe les deux vecteurs dont la somme des coefficients est nulle.

1. $1+(-1)+1=1\neq0$ :

$E$ existe.

2. $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$

$\iff\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$ (car $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}$)

$\iff\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}$

$ABCD$ est un parallélogramme : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, donc $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DC}$.

$E=D$ : $D$ = Bar$\{(A;1),(B;-1),(C;1)\}$

Correction 9

💡 On réduit chaque membre avec un barycentre, puis on compare deux distances : $MI=MG$ ⇒ médiatrice.

• $2+2=4\neq0$ : $2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MI}$ ($I$ = Bar$\{(A;2),(B;2)\}$, milieu de $[AB]$).
• $3+1=4\neq0$ : $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MG}$.

$4MI=4MG\iff MI=MG$

$(E)$ est la médiatrice du segment $[IG]$

Correction 10

💡 $1+2+(-1)=2\neq0$ ; on applique la formule des coordonnées, puis on teste la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AG}$.

1. $x_G=\dfrac{1\times1+2\times3+(-1)\times(-1)}{2}=\dfrac{8}{2}=4$

$y_G=\dfrac{1\times2+2\times0+(-1)\times4}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$

$G(4;-1)$

2. $\overrightarrow{AB}(2;-2)$ et $\overrightarrow{AG}(3;-3)$ : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires : $A$, $B$, $G$ sont alignés

Correction 11

💡 Associativité pour 1 et 2 ; pour 3, on réduit le membre de gauche avec $G$ et le membre de droite avec Chasles (somme nulle).

1. $I$ = Bar$\{(A;1),(B;1)\}$, donc $G$ = Bar$\{(I;2),(C;2)\}$.

Coefficients égaux : $G$ est le milieu de $[IC]$

2. $1+2=3\neq0$ : $G$ = Bar$\{(J;3),(B;1)\}$, donc $B$, $G$, $J$ sont alignés.

$\overrightarrow{BG}=\dfrac{3}{3+1}\overrightarrow{BJ}$

$\overrightarrow{BG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BJ}$

3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}$ et $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$.

$4MG=AB\iff MG=\dfrac{AB}{4}$

L'ensemble est le cercle de centre $G$ et de rayon $\dfrac{AB}{4}$

Correction 12

💡 Somme des coefficients : $2+1+1=4\neq0$.

1. $x_G=\dfrac{2\times(-1)+3+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$y_G=\dfrac{2\times0+2+4}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

$G\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$

2. $I\left(\dfrac{3+1}{2};\dfrac{2+4}{2}\right)=(2;3)$ ; milieu de $[AI]$ : $\left(\dfrac{-1+2}{2};\dfrac{0+3}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$.

C'est $G$ : $G$ est le milieu de $[AI]$ ✔

3. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}$, donc $4MG=4\iff MG=1$.

L'ensemble est le cercle de centre $G\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ et de rayon $1$