Barycentre de deux points
Définition Définition
Si $\alpha+\beta\neq0$, il existe un unique point $G$ tel que $\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ : $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$.
[!] Si $\alpha+\beta=0$ : pas de barycentre.
Méthode Construire $G$
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$ (coefficient de $B$ au numérateur)
Propriété Propriétés
- Homogénéité : on peut multiplier les coefficients par $k\neq0$.
- $\alpha=\beta$ : $G$ est le milieu de $[AB]$ (isobarycentre).
- $G\in(AB)$ ; $\alpha$ et $\beta$ de même signe ⇒ $G\in[AB]$.
Propriété caractéristique et coordonnées
Formules Formules
$(\forall M)\ \alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$
- $x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}$ ; $y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}$.
- Si $\alpha+\beta=0$ : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\alpha\overrightarrow{BA}$ (vecteur constant).
Trois et quatre points
Propriété Définition et associativité
- $\alpha+\beta+\gamma\neq0$ : $\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
Si $H$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ : $G$ = Bar$\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}$
- Centre de gravité : $G$ = Bar$\{(A;1),(B;1),(C;1)\}$ et $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ ($I$ milieu de $[BC]$).
Applications
Méthode Méthodes
- Alignement : un point est barycentre des deux autres.
- Ensemble de points : on réduit avec $G$ ; $MG=r$ ⇒ cercle ; $MG=MG’$ ⇒ médiatrice de $[GG’]$.
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ au lieu de $\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$.
- Oublier la valeur absolue : $\|k\overrightarrow{MG}\|=|k|\,MG$.
À retenir À retenir
- Toujours vérifier $\alpha+\beta\neq0$ avant de parler du barycentre.
- La propriété caractéristique réduit une somme de vecteurs en un seul.