Barycentre de deux points pondérés
Point pondéré et définition
Définition Point pondéré
Un point pondéré est un couple $(A;\alpha)$ où $A$ est un point du plan et $\alpha$ un nombre réel, appelé coefficient (ou poids) de $A$.
Théorème Existence et unicité
Soient $(A;\alpha)$ et $(B;\beta)$ deux points pondérés tels que $\alpha+\beta\neq0$.
Il existe un unique point $G$ tel que :
$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}$
$G$ s’appelle le barycentre du système pondéré $\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ ; on écrit : $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$.
Réponse Pourquoi la condition $\alpha+\beta\neq0$ ?
>> On transforme la relation avec la relation de Chasles $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$.
$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}$
$\iff\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{AB}=\vec{0}$
$\iff(\alpha+\beta)\overrightarrow{AG}=\beta\overrightarrow{AB}$
- Si $\alpha+\beta\neq0$ : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$ ⇒ un seul point $G$ ✔.
- Si $\alpha+\beta=0$ (avec $\alpha\neq0$ et $A\neq B$) : la relation devient $\vec{0}=\beta\overrightarrow{AB}$, impossible ✘ : pas de barycentre.
Construction du barycentre
Méthode Construire $G$
1. On vérifie que $\alpha+\beta\neq0$.
2. On calcule le coefficient $\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$ (le coefficient de $B$ au numérateur).
3. On place $G$ grâce à : $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$.
Exemple $G$ = Bar$\{(A;2),(B;1)\}$
$2+1=3\neq0$ ✔, donc $G$ existe.
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2+1}\overrightarrow{AB}$
$=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
$G$ est sur $[AB]$, au tiers de $[AB]$ en partant de $A$ (plus près de $A$, qui a le plus grand coefficient)
Exemple $G$ = Bar$\{(A;3),(B;-1)\}$
$3+(-1)=2\neq0$ ✔, donc $G$ existe.
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{-1}{3+(-1)}\overrightarrow{AB}$
$=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$G$ est sur la droite $(AB)$, en dehors de $[AB]$, du côté de $A$
Erreur fréquente
- Écrire $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$ : faux ! Au numérateur, c’est le coefficient de l’autre point $B$.
- Oublier de vérifier $\alpha+\beta\neq0$ avant de parler du barycentre.
Propriétés
Propriété Homogénéité
Pour tout réel $k\neq0$ : Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ = Bar$\{(A;k\alpha),(B;k\beta)\}$.
>> On peut donc multiplier ou diviser tous les coefficients par un même réel non nul pour les simplifier.
Propriété Isobarycentre — Position de $G$
- Si $\alpha=\beta\neq0$, $G$ est le milieu $I$ de $[AB]$ : on l’appelle l’isobarycentre de $A$ et $B$.
- Le barycentre de $A$ et $B$ appartient toujours à la droite $(AB)$.
- Si $\alpha$ et $\beta$ ont le même signe, $G$ appartient au segment $[AB]$.
- Si $\alpha$ et $\beta$ sont de signes contraires, $G$ est hors de $[AB]$, du côté du point de plus grand coefficient en valeur absolue.
Exemple Simplifier les coefficients
Bar$\{(A;4),(B;-6)\}$ : on divise par $2$.
Bar$\{(A;4),(B;-6)\}$ = Bar$\{(A;2),(B;-3)\}$
Propriété caractéristique
Théorème
Soit $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ avec $\alpha+\beta\neq0$. Pour tout point $M$ du plan :
$\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$
Réponse Démonstration
>> On introduit $G$ dans chaque vecteur (relation de Chasles).
$\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+\beta(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})$
$=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}+\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}$
$=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}+\vec{0}$
car $\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec{0}$ (définition de $G$).
Remarque Utilité
- Elle réduit une somme de deux vecteurs en un seul vecteur : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}$ devient $(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$.
- Avec $M=A$, on retrouve $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$.
Exemple
Réduire $\vec{u}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}$, où $M$ est un point quelconque.
$2+3=5\neq0$ : soit $G$ = Bar$\{(A;2),(B;3)\}$.
$\vec{u}=5\overrightarrow{MG}$
Coordonnées du barycentre
Propriété
Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, si $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ alors :
$x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}$ et $y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta}$
>> C’est la propriété caractéristique avec $M=O$ : $\overrightarrow{OG}=\dfrac{\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}}{\alpha+\beta}$.
Exemple
$A(1;2)$, $B(4;-1)$ et $G$ = Bar$\{(A;2),(B;1)\}$.
$x_G=\dfrac{2\times1+1\times4}{2+1}$
$=\dfrac{6}{3}=2$
$y_G=\dfrac{2\times2+1\times(-1)}{2+1}$
$=\dfrac{3}{3}=1$
$G(2;1)$
Vérification : $\overrightarrow{AB}(3;-3)$ et $\overrightarrow{AG}(1;-1)$, donc $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ✔.
Application
Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $C$ le point tel que $\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. Écrire $C$ comme barycentre de $A$ et $B$.
Réponse
>> On fait apparaître $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ avec la relation de Chasles.
$4\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$
$\iff4\overrightarrow{AC}=3(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$
$\iff\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{CB}=\vec{0}$
$\iff\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CB}=\vec{0}$
$C$ = Bar$\{(A;1),(B;3)\}$
Barycentre de trois points pondérés
Définition et propriété caractéristique
Définition
Soient $(A;\alpha)$, $(B;\beta)$ et $(C;\gamma)$ trois points pondérés tels que $\alpha+\beta+\gamma\neq0$.
Le barycentre du système est l’unique point $G$ tel que :
$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}=\vec{0}$
Propriété
- Propriété caractéristique : pour tout point $M$, $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}$.
- Coordonnées : $x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}$ et $y_G=\dfrac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma}$.
- Homogénéité : on peut multiplier les trois coefficients par un même réel $k\neq0$.
Exemple
$A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;3)$ et $G$ = Bar$\{(A;1),(B;1),(C;1)\}$.
$x_G=\dfrac{0+6+0}{3}=2$
$y_G=\dfrac{0+0+3}{3}=1$
$G(2;1)$
Associativité (barycentre partiel)
Théorème
Soit $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}$. Si $\alpha+\beta\neq0$ et $H$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$, alors :
$G$ = Bar$\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}$
>> On remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
Méthode Construire le barycentre de trois points
1. On choisit deux points dont la somme des coefficients est non nulle et on construit leur barycentre partiel $H$.
2. On construit $G$ = Bar$\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}$ comme barycentre de deux points.
Exemple $G$ = Bar$\{(A;1),(B;1),(C;2)\}$
$1+1+2=4\neq0$ ✔. Soit $H$ = Bar$\{(A;1),(B;1)\}$ : c’est le milieu de $[AB]$.
Par associativité : $G$ = Bar$\{(H;2),(C;2)\}$.
Les coefficients sont égaux : $G$ est le milieu de $[HC]$
Centre de gravité d’un triangle
Propriété
Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est l’isobarycentre de $A$, $B$ et $C$ : $G$ = Bar$\{(A;1),(B;1),(C;1)\}$.
Si $I$ est le milieu de $[BC]$, par associativité $G$ = Bar$\{(A;1),(I;2)\}$, donc :
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$
>> On retrouve que les trois médianes se coupent en $G$, aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Barycentre de quatre points
Définition
Si $\alpha+\beta+\gamma+\delta\neq0$, le barycentre $G$ de $\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma),(D;\delta)\}$ est l’unique point tel que :
$\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}+\delta\overrightarrow{GD}=\vec{0}$
Les propriétés (caractéristique, coordonnées, homogénéité, associativité) restent vraies ; on regroupe les points par deux ou par trois.
Exemple Parallélogramme
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ et $G$ = Bar$\{(A;1),(B;1),(C;1),(D;1)\}$.
$O$ est le milieu de $[AC]$ : $O$ = Bar$\{(A;1),(C;1)\}$ ; et le milieu de $[BD]$ : $O$ = Bar$\{(B;1),(D;1)\}$.
Par associativité : $G$ = Bar$\{(O;2),(O;2)\}$.
$G=O$
Applications
Alignement de points
Méthode
Pour montrer que trois points $E$, $F$ et $K$ sont alignés, il suffit de montrer que l’un d’eux est barycentre des deux autres.
Exemple
$ABC$ est un triangle, $I$ = Bar$\{(A;1),(B;2)\}$, $J$ = Bar$\{(B;2),(C;3)\}$ et $G$ = Bar$\{(A;1),(B;2),(C;3)\}$. Montrer que $C$, $I$ et $G$ sont alignés.
$1+2=3\neq0$ ✔ : par associativité, $G$ = Bar$\{(I;3),(C;3)\}$.
$G$ est le milieu de $[IC]$ : $C$, $I$ et $G$ sont alignés
De même $G$ = Bar$\{(A;1),(J;5)\}$ : $A$, $J$ et $G$ sont alignés, donc les droites $(CI)$ et $(AJ)$ se coupent en $G$.
Ensembles de points
Méthode Déterminer l’ensemble des points $M$
1. On réduit chaque somme vectorielle avec la propriété caractéristique (on introduit le barycentre).
2. On obtient une relation simple entre distances, puis on reconnaît l’ensemble :
- $MG=r$ avec $r>0$ : le cercle de centre $G$ et de rayon $r$ ;
- $MG=0$ : le point $G$ ;
- $MG=MG'$ : la médiatrice du segment $[GG']$.
Exemple
$A$ et $B$ sont deux points avec $AB=4$. Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=4$.
Soit $I$ le milieu de $[AB]$ : $I$ = Bar$\{(A;1),(B;1)\}$, donc $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
$\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=4\iff2MI=4$
$\iff MI=2$
$(\Gamma)$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$
Exemple Somme de coefficients nulle
Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|$.
- $1+1\neq0$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ($I$ milieu de $[AB]$).
- $1+(-1)=0$ : pas de barycentre, mais $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ est un vecteur constant.
$2MI=AB\iff MI=\dfrac{AB}{2}$
L’ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$
Erreur fréquente
- Quand $\alpha+\beta=0$, il n’y a pas de barycentre : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\alpha\overrightarrow{BA}$ ne dépend pas de $M$.
- $\|k\overrightarrow{MG}\|=|k|\,MG$ : ne pas oublier la valeur absolue.
À retenir
- $G$ = Bar$\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ existe $\iff\alpha+\beta\neq0$, et $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$.
- Propriété caractéristique : $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$ (pour réduire).
- Associativité : on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients.
- Alignement : un point est barycentre des deux autres.