Limites usuelles et opérations
Formules Limites à connaître
- $\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$
Méthode Polynôme et fraction rationnelle en $\pm\infty$
- Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
- Une fraction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
>> Exemple : $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-x}{1-x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2}{-x^2}=-2$.
Erreur fréquente Formes indéterminées
[!] $+\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\dfrac{0}{0}$ : on transforme l'écriture.
- $\dfrac{0}{0}$ en $a$ : on factorise par $(x-a)$ puis on simplifie.
- Avec une racine : on multiplie par l'expression conjuguée.
- En $\pm\infty$ : on factorise par le terme dominant.
Limites et ordre
Propriété Comparaison
- Si $f(x)\geq u(x)$ et $\lim u=+\infty$ alors $\lim f=+\infty$.
- Si $f(x)\leq v(x)$ et $\lim v=-\infty$ alors $\lim f=-\infty$.
- Si $|f(x)-\ell|\leq u(x)$ et $\lim u=0$ alors $\lim f=\ell$.
Gendarmes : si $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et $\lim u=\lim v=\ell$ alors $\lim f=\ell$.
Continuité
Définition Continuité en un point
$f$ est continue en $a$ $\iff$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
- À droite : $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ ; à gauche : $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.
- $f$ continue en $a$ $\iff$ continue à droite et à gauche en $a$.
Propriété Continuité sur un intervalle
- Les polynômes, $\sin$, $\cos$ sont continus sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles et $\tan$ sur leur domaine ; $\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$.
- Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues.
- Si $f$ est continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$ alors $g\circ f$ est continue en $a$.
Propriété Image d'un intervalle
- L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a;b]$ : $f([a;b])=[f(a);f(b)]$.
- Si $f$ est continue et strictement décroissante sur $[a;b]$ : $f([a;b])=[f(b);f(a)]$.
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème TVI
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $f(a)\times f(b)<0$, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]a;b[$.
- Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$, la solution est unique.
>> Exemple : $f(x)=x^3-3x+1$ s'annule trois fois sur $[-2;2]$.
Méthode Dichotomie
- On coupe $[a;b]$ en deux : $m=\dfrac{a+b}{2}$ ; on calcule $f(m)$.
- On garde la moitié où $f$ change de signe ; on recommence.
Après $n$ étapes, l'amplitude est $\dfrac{b-a}{2^n}$.
Fonction réciproque
Théorème Théorème
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=f(I)$.
- $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$.
- $\left(\forall x\in I\right)\left(\forall y\in J\right)\ :\ f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)$.
- $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.
Méthode Déterminer $f^{-1}(x)$
- Étape 1 : on pose $y\in J$ et on résout $f(x)=y$ d'inconnue $x\in I$.
- Étape 2 : on exprime $x$ en fonction de $y$ : $x=f^{-1}(y)$.
- Étape 3 : on remplace $y$ par $x$.
Racine n-ième
Définition Définition
Pour $n\in\mathbb{N}^*$ : $\sqrt[n]{x}$ est la réciproque de $x\mapsto x^n$ sur $[0;+\infty[$ ; $\sqrt[n]{x}=y\iff y^n=x$ (avec $x\geq0$, $y\geq0$).
Formules Propriétés ($a\geq0$, $b\geq0$)
- $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$ ; $\sqrt[n]{a^n}=a$ ; $\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ ; $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$.
- $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b}\iff a=b$ ; $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b$.
- Puissance rationnelle ($a>0$) : $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$.
- $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty$ ; si $\lim u=\ell\geq0$ alors $\lim\sqrt[n]{u}=\sqrt[n]{\ell}$.
À retenir Je retiens
- Continuité en $a$ : comparer la limite et $f(a)$.
- TVI : continuité + changement de signe ; unicité : + stricte monotonie.
- Réciproque : continue et strictement monotone sur un intervalle.