خطاطة ذهنية «Limites et continuité» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Limites, continuité, TVI et fonction réciproque. Carte mentale Limites et continuité — 2ème année Bac sciences physiques.
À retenir : $f$ continue en $a\iff\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
Limites usuelles
- Polynôme : terme de plus haut degré
- Rationnelle : quotient des termes dominants
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
Formes indéterminées
- $+\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac{0}{0}$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$
- Factoriser par $(x-a)$
- Multiplier par le conjugué
Limites et ordre
- $f\geq u$ et $\lim u=+\infty$
- Gendarmes : $u\leq f\leq v$
$|f(x)-\ell|\leq u(x)\to0$
Continuité
- En $a$ : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
- À droite et à gauche
- Somme, produit, composée
Image d'un intervalle
- Continue : image = intervalle
Croissante : $f([a;b])=[f(a);f(b)]$
- Décroissante : $f([a;b])=[f(b);f(a)]$
TVI
- Continue sur $[a;b]$
- $f(a)\times f(b)<0$
[!] Strictement monotone : solution unique
Dichotomie
- $m=\dfrac{a+b}{2}$
- Garder le changement de signe
Amplitude $\dfrac{b-a}{2^n}$
Réciproque et racine n-ième
- Continue et strictement monotone sur $I$
- Symétrie par rapport à $y=x$
$\sqrt[n]{x}=y\iff y^n=x$
أحفظ : $f$ متصلة في $a\iff\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
النهايات الاعتيادية
- الحدودية : الحد الأعلى درجة
- الجذرية : خارج الحدين المهيمنين
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
الأشكال غير المحددة
- $+\infty-\infty$ ؛ $0\times\infty$ ؛ $\dfrac{0}{0}$ ؛ $\dfrac{\infty}{\infty}$
- التعميل بـ $(x-a)$
- الضرب في المرافق
النهايات والترتيب
- $f\geq u$ و $\lim u=+\infty$
- التأطير : $u\leq f\leq v$
$|f(x)-\ell|\leq u(x)\to0$
الاتصال
- في $a$ : $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
- على اليمين وعلى اليسار
- المجموع والجداء والمركب
صورة مجال
تزايدية : $f([a;b])=[f(a);f(b)]$
- تناقصية : $f([a;b])=[f(b);f(a)]$
م.ق.و
- متصلة على $[a;b]$
- $f(a)\times f(b)<0$
[!] رتيبة قطعاً : الحل وحيد
التفرع الثنائي
- $m=\dfrac{a+b}{2}$
- نحتفظ بتغيّر الإشارة
السعة $\dfrac{b-a}{2^n}$
الدالة العكسية والجذر
- متصلة ورتيبة قطعاً على $I$
- تماثل بالنسبة لـ $y=x$
$\sqrt[n]{x}=y\iff y^n=x$