Rappels sur les limites
Méthode Calculer une limite
1. Calcul direct : on remplace $x$ par la valeur ; si on obtient un nombre (ou « $\dfrac{\ell}{0}$ », « $\dfrac{\ell}{\infty}$ »…), on conclut avec les règles des opérations.
2. Si on obtient une forme indéterminée ($\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac{0}{0}$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$), on la lève :
- polynômes ou rationnelles en $\pm\infty$ : propriété du cours (termes de plus haut degré) ;
- « $\dfrac{0}{0}$ » avec des polynômes : factoriser par $(x-a)$ ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : conjugué ; sinon factoriser par le terme dominant ;
- trigonométrie : limites usuelles $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$.
Propriété Limites et ordre
- Si $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$, alors $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$.
- Si $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et $\lim u=\lim v=\ell$, alors $\lim f=\ell$ (gendarmes).
- Si $f(x)\geq u(x)$ et $\lim u=+\infty$, alors $\lim f=+\infty$ ; si $f(x)\leq v(x)$ et $\lim v=-\infty$, alors $\lim f=-\infty$.
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\cos x}{x}$ : $-1\leq\cos x\leq1$ donc $\left|\dfrac{x+\cos x}{x}-1\right|=\left|\dfrac{\cos x}{x}\right|\leq\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x}\to0$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\cos x}{x}=1$
Continuité d’une fonction
Continuité en un point
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$
Graphiquement : la courbe se trace « sans lever le crayon » au voisinage du point d’abscisse $a$.
Définition Continuité à droite et à gauche
- $f$ est continue à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ ;
- $f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.
$f$ est continue en $a$ $\iff$ $f$ est continue à droite et à gauche en $a$
Exemple Fonction continue
$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x\neq2$ et $f(2)=4$.
Calcul direct : « $\dfrac{0}{0}$ » ; on factorise : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to4$.
$\lim\limits_{x\to2}f(x)=4=f(2)$ : $f$ est continue en $2$
Exemple Fonction non continue
$f(x)=x+1$ si $x\leq1$ et $f(x)=x-1$ si $x>1$ ; $f(1)=2$.
$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=2=f(1)$ : continue à gauche ; $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=0\neq f(1)$ : pas continue à droite.
[!] $f$ n’est pas continue en $1$ (la courbe « saute »)
Prolongement par continuité
Propriété
Si $f$ n’est pas définie en $a$ mais $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\ell$ ($\ell\in\mathbb{R}$), la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)$ si $x\neq a$ et $g(a)=\ell$ est continue en $a$.
$g$ s’appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$.
Exemple
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ n’est pas définie en $0$, mais $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (limite usuelle).
Le prolongement par continuité de $f$ en $0$ est $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ si $x\neq0$ et $g(0)=1$
Continuité sur un intervalle — Opérations
Définition
$f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a;b[$ si elle est continue en tout point de $]a;b[$ ; sur $[a;b]$ si de plus elle est continue à droite en $a$ et à gauche en $b$.
Propriété Fonctions continues usuelles et opérations
- Les fonctions polynômes, $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles et $\tan$ sont continues sur chaque intervalle de leur domaine ; $\sqrt{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$.
- Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ : $f+g$, $f\times g$, $\lambda f$ et $|f|$ sont continues sur $I$ ; $\dfrac{f}{g}$ est continue là où $g\neq0$ ; $\sqrt{f}$ est continue si $f\geq0$ sur $I$.
Théorème Composée
- Si $u$ est continue sur $I$, $v$ continue sur $J$ et $u(I)\subset J$, alors $v\circ u$ est continue sur $I$.
- Si $\lim\limits_{x\to a}u(x)=\ell$ et $v$ est continue en $\ell$, alors :
$\lim\limits_{x\to a}v\left(u(x)\right)=v(\ell)$
Exemple
$\lim\limits_{x\to+\infty}\cos\left(\dfrac{\pi x+1}{2x}\right)$ : $u(x)=\dfrac{\pi x+1}{2x}\to\dfrac{\pi}{2}$ (propriété du cours) et $\cos$ est continue en $\dfrac{\pi}{2}$.
$\lim\limits_{x\to+\infty}\cos\left(\dfrac{\pi x+1}{2x}\right)=\cos\dfrac{\pi}{2}=0$
Application
Soit $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ si $x>0$ et $f(x)=x^2+m$ si $x\leq0$. Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en $0$.
Réponse
$f(0)=m$ et $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=m$ : $f$ est continue à gauche en $0$.
À droite : « $\dfrac{0}{0}$ » ; conjugué : $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\to\dfrac{1}{2}$.
$f$ est continue en $0$ $\iff m=\dfrac{1}{2}$
Image d’un intervalle par une fonction continue
Théorème
- L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
- L’image d’un segment $[a;b]$ par une fonction continue est un segment $[m;M]$, où $m$ et $M$ sont la valeur minimale et la valeur maximale de $f$ sur $[a;b]$.
Propriété Cas d’une fonction continue et strictement monotone
| Intervalle $I$ | $f$ strictement croissante | $f$ strictement décroissante |
| $[a;b]$ | $[f(a);f(b)]$ | $[f(b);f(a)]$ |
| $[a;b[$ | $\left[f(a);\lim\limits_{b^-}f\right[$ | $\left]\lim\limits_{b^-}f;f(a)\right]$ |
| $]a;b]$ | $\left]\lim\limits_{a^+}f;f(b)\right]$ | $\left[f(b);\lim\limits_{a^+}f\right[$ |
| $]a;b[$ | $\left]\lim\limits_{a^+}f;\lim\limits_{b^-}f\right[$ | $\left]\lim\limits_{b^-}f;\lim\limits_{a^+}f\right[$ |
Exemple
$f(x)=x^2+1$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, avec $f(0)=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
$f\left([0;+\infty[\right)=[1;+\infty[$
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème T.V.I.
Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.
Propriété Corollaire
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$ et $f(a)\times f(b)<0$, alors l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]a;b[$.
Méthode Montrer qu’une équation admet une unique solution
1. Continuité de $f$ sur $[a;b]$ (et pourquoi) ;
2. Stricte monotonie sur $[a;b]$ (et pourquoi) ;
3. On calcule $f(a)$ et $f(b)$ et on vérifie $f(a)\times f(b)<0$ ;
4. On conclut : $0$ admet un antécédent unique $\alpha$ dans $]a;b[$.
Exemple
Montrer que $x^3-3x+1=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;1[$.
1. $f(x)=x^3-3x+1$ est un polynôme : continue sur $[0;1]$.
2. $f'(x)=3(x^2-1)<0$ sur $]0;1[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.
3. $f(0)=1>0$ et $f(1)=-1<0$.
L’équation admet une unique solution $\alpha\in]0;1[$
Méthode Dichotomie
Pour encadrer $\alpha$ : on calcule $f$ au milieu $c=\dfrac{a+b}{2}$ ; si $f(a)\times f(c)<0$ alors $\alpha\in]a;c[$, sinon $\alpha\in]c;b[$. À chaque étape l’amplitude est divisée par $2$.
Exemple
Avec l’exemple précédent : $f(0{,}5)=0{,}125-1{,}5+1=-0{,}375<0$ et $f(0)>0$ : $\alpha\in]0;0{,}5[$ (amplitude $0{,}5$).
$f(0{,}25)\approx0{,}266>0$ : $\alpha\in]0{,}25;0{,}5[$ (amplitude $0{,}25$).
$0{,}25<\alpha<0{,}5$
Fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone
Théorème
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l’intervalle $J=f(I)$ :
$f^{-1}(x)=y\iff\left(f(y)=x\ ;\ y\in I\right)$ pour $x\in J$
Propriété Propriétés
- $(\forall x\in I)\ f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ et $(\forall y\in J)\ f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ ;
- $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$ ;
- dans un repère orthonormé, $(C_{f^{-1}})$ est le symétrique de $(C_f)$ par rapport à la droite $y=x$.
Méthode Déterminer $f^{-1}(x)$
On résout l’équation $f(y)=x$ d’inconnue $y\in I$ (pour $x\in J$) ; avant d’élever au carré, on vérifie le signe des deux membres.
Exemple
$f(x)=x^2$ sur $I=[0;+\infty[$ : continue et strictement croissante, $J=f(I)=[0;+\infty[$.
Pour $x\geq0$ : $y^2=x$ avec $y\geq0$ $\iff y=\sqrt{x}$.
$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$
Fonction racine n-ième — Puissance rationnelle
Définition
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. La fonction $x\mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ ; sa réciproque est la fonction racine n-ième, notée $x\mapsto\sqrt[n]{x}$ :
Pour $x\geq0$ et $y\geq0$ : $\sqrt[n]{x}=y\iff y^n=x$
Propriété Propriétés (pour $a\geq0$, $b\geq0$, $n,m\in\mathbb{N}^*$)
- $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$ ; $\sqrt[n]{a^n}=a$ ; $\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
- $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ($b>0$) ; $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$
- $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b}\iff a=b$ et $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\iff a<b$.
Propriété Limites et continuité
- $x\mapsto\sqrt[n]{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty$.
- Si $u\geq0$ sur $I$ et $\lim\limits_{x\to a}u(x)=\ell$, alors $\lim\limits_{x\to a}\sqrt[n]{u(x)}=\sqrt[n]{\ell}$ ; si $\lim u=+\infty$, alors $\lim\sqrt[n]{u}=+\infty$.
Exemple
Résoudre $x^3=8$ : $x^3=2^3$ ; la fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$S=\{2\}$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+1}-x\right)$ : on pose $a=\sqrt[3]{x^3+1}$, $b=x$ et on utilise $a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ :
$\sqrt[3]{x^3+1}-x=\dfrac{1}{a^2+ab+b^2}$
Le dénominateur tend vers $+\infty$ : la limite vaut $0$
Définition Puissance rationnelle
Pour $a>0$ et $r=\dfrac{p}{q}$ ($p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}^*$) : $a^r=\sqrt[q]{a^p}$. Les règles des puissances restent valables :
$a^r\times a^{r'}=a^{r+r'}$ ; $\left(a^r\right)^{r'}=a^{rr'}$ ; $(ab)^r=a^rb^r$ ; $\dfrac{a^r}{a^{r'}}=a^{r-r'}$
Exemple
$8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$
$\sqrt{2}\times\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{2}}\times2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{32}$
Erreur fréquente
- Oublier de vérifier la continuité et la stricte monotonie avant d’appliquer le corollaire du T.V.I.
- Écrire $\sqrt[n]{x}$ pour $x<0$ : la racine n-ième n’est définie que pour $x\geq0$.
À retenir
- $f$ continue en $a\iff\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$.
- T.V.I. : continuité + stricte monotonie + $f(a)f(b)<0$ ⇒ solution unique ; dichotomie pour l’encadrer.
- Réciproque : on résout $f(y)=x$ ; courbes symétriques par rapport à $y=x$.