Rappels
Formules Suites arithmétiques et géométriques
| | Arithmétique (raison $r$) | Géométrique (raison $q$) |
| Définition | $u_{n+1}=u_n+r$ | $u_{n+1}=q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n=u_p+(n-p)r$ | $u_n=u_p\times q^{n-p}$ |
| Somme | $N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$ | $u_p\times\dfrac{1-q^N}{1-q}$ ($q\neq1$) |
- $N=n-p+1$ : nombre de termes de $u_p+\cdots+u_n$.
Méthode Raisonnement par récurrence
- Initialisation : on vérifie $P(n_0)$.
- Hérédité : on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$.
Suites de référence
Formules Limites à connaître ($p\geq1$)
$\lim\limits_{n\to+\infty}n^p=+\infty$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=0$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0$
- Si $u_n=f(n)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$.
Convergence et opérations
Définition Convergente / divergente
- $(u_n)$ converge si elle admet une limite finie $\ell$ (unique).
- Sinon (limite infinie ou pas de limite) : $(u_n)$ diverge.
Propriété Opérations
- Les règles des limites de fonctions en $+\infty$ restent valables (somme, produit, quotient, formes indéterminées).
- Exemple : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2+1}{2n^2-n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2}{2n^2}=\dfrac{3}{2}$.
Limites et ordre
Propriété Comparaison
- $|u_n-\ell|\leq v_n$ et $\lim v_n=0$ ⇒ $\lim u_n=\ell$.
Gendarmes : $v_n\leq u_n\leq w_n$ et $\lim v_n=\lim w_n=\ell$ ⇒ $\lim u_n=\ell$
- $u_n\geq v_n$ et $\lim v_n=+\infty$ ⇒ $\lim u_n=+\infty$ ; $u_n\leq v_n$ et $\lim v_n=-\infty$ ⇒ $\lim u_n=-\infty$.
- $(u_n)$ et $(v_n)$ convergentes et $u_n\leq v_n$ ⇒ $\lim u_n\leq\lim v_n$.
Limite de $q^n$
Formules Selon $q$
| $q$ | $q\leq-1$ | $-1<q<1$ | $q=1$ | $q>1$ |
| $\lim q^n$ | pas de limite | $0$ | $1$ | $+\infty$ |
Suites monotones
Théorème Critère de convergence
Croissante et majorée ⇒ convergente ; décroissante et minorée ⇒ convergente
- Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.
- Croissante non majorée ⇒ $+\infty$ ; décroissante non minorée ⇒ $-\infty$.
Suites $u_{n+1}=f(u_n)$
Théorème Limite d'une suite récurrente
$f$ continue sur $I$, $f(I)\subset I$, $u_0\in I$ et $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$ ⇒ $f(\ell)=\ell$
Méthode Étudier une suite récurrente
1. Encadrement par récurrence.
2. Monotonie : signe de $u_{n+1}-u_n$.
3. Convergence : monotone et bornée.
4. Limite : on résout $f(x)=x$ dans $I$.
Méthode Suite auxiliaire
- Pour $u_{n+1}=au_n+b$ ($a\neq1$) : $\ell=a\ell+b$ et $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$.
$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$
Erreur fréquente Erreurs fréquentes
- Écrire la limite d'une suite récurrente sans avoir montré qu'elle converge.
- Oublier la condition $-1<q<1$ pour $\lim q^n=0$.
- Montrer la monotonie avec quelques termes seulement.
À retenir À retenir
- Monotone et bornée ⇒ convergente.
- $\lim q^n=0$ si $-1<q<1$ ; $+\infty$ si $q>1$.
Astuce Conseil
- Pour $u_{n+1}=f(u_n)$ : encadrement, monotonie, convergence, puis $f(\ell)=\ell$ ; toujours dans cet ordre.