Rappels
Définition Suites majorées, minorées, monotones
- $(u_n)$ est majorée par $M$ si $(\forall n)\ u_n\leq M$ ; minorée par $m$ si $(\forall n)\ u_n\geq m$ ; bornée si elle est majorée et minorée.
- $(u_n)$ est croissante si $(\forall n)\ u_{n+1}-u_n\geq0$ ; décroissante si $u_{n+1}-u_n\leq0$.
Formules Suites arithmétiques et géométriques
| | Arithmétique (raison $r$) | Géométrique (raison $q$) |
| Définition | $u_{n+1}=u_n+r$ | $u_{n+1}=q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n=u_p+(n-p)r$ | $u_n=u_p\times q^{n-p}$ |
| Somme | $N\times\dfrac{u_p+u_n}{2}$ | $u_p\times\dfrac{1-q^N}{1-q}$ ($q\neq1$) |
>> $N=n-p+1$ est le nombre de termes de la somme $u_p+\cdots+u_n$.
Méthode Raisonnement par récurrence
Pour montrer une propriété $P(n)$ pour tout $n\geq n_0$ : initialisation (vérifier $P(n_0)$), puis hérédité (supposer $P(n)$ et démontrer $P(n+1)$).
Limites des suites de référence
Propriété
Pour tout entier $p\geq1$ :
$\lim\limits_{n\to+\infty}n^p=+\infty$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=0$ ; $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0$
Plus généralement, si $u_n=f(n)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ (fini ou infini), alors $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$.
Suites convergentes — Opérations
Définition
- $(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie $\ell$ ; cette limite est unique.
- Sinon (limite infinie ou pas de limite), $(u_n)$ est divergente.
Propriété Opérations
Les règles sur les limites de fonctions en $+\infty$ (somme, produit, quotient, formes indéterminées) restent valables pour les suites.
Exemple
$u_n=\dfrac{3n^2+1}{2n^2-n}$ : forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », propriété du cours.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2}{2n^2}=\dfrac{3}{2}$
$v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ : « $+\infty-\infty$ » ; conjugué : $v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$
Limites et ordre
Propriété
- Si $|u_n-\ell|\leq v_n$ à partir d’un certain rang et $\lim v_n=0$, alors $\lim u_n=\ell$.
- Si $v_n\leq u_n\leq w_n$ et $\lim v_n=\lim w_n=\ell$, alors $\lim u_n=\ell$.
- Si $u_n\geq v_n$ et $\lim v_n=+\infty$, alors $\lim u_n=+\infty$ ; si $u_n\leq v_n$ et $\lim v_n=-\infty$, alors $\lim u_n=-\infty$.
- Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et $u_n\leq v_n$, alors $\lim u_n\leq\lim v_n$.
Exemple
$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ : $|u_n|\leq\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n}\to0$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$
Limite d’une suite géométrique
Propriété Limite de $q^n$
| $q$ | $q\leq-1$ | $-1<q<1$ | $q=1$ | $q>1$ |
| $\lim q^n$ | pas de limite | $0$ | $1$ | $+\infty$ |
Exemple
$u_n=\dfrac{2^n+3^n}{3^n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1$ et $-1<\dfrac{2}{3}<1$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0+1=1$
Somme : $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=2$
Critères de convergence : suites monotones
Théorème
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
[!] Ce théorème assure l’existence de la limite mais ne donne pas sa valeur.
Remarque
- Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.
Suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$
Théorème
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ avec $f(I)\subset I$, et $(u_n)$ définie par $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$, alors $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$
Méthode Étudier une suite récurrente
1. Encadrement par récurrence (par exemple $0\leq u_n\leq2$) ;
2. Monotonie (signe de $u_{n+1}-u_n$) ;
3. Convergence (monotone et bornée) ;
4. Limite : on résout $f(x)=x$ dans $I$.
Exemple $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$
1. Récurrence : $0\leq u_0\leq2$ ✔ ; si $0\leq u_n\leq2$, alors $2\leq2+u_n\leq4$ donc $0\leq\sqrt{2}\leq u_{n+1}\leq2$ ✔.
2. Monotonie : $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2+u_n}-u_n=\dfrac{2+u_n-u_n^2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}=\dfrac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2+u_n}+u_n}\geq0$ : croissante.
3. Croissante et majorée par $2$ : $(u_n)$ converge vers $\ell\in[0;2]$.
4. $f(x)=\sqrt{2+x}$ est continue sur $[0;2]$ et $f([0;2])\subset[0;2]$ ; $\sqrt{2+\ell}=\ell\iff\ell^2-\ell-2=0$ et $\ell\geq0$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$
Méthode Suite auxiliaire
Pour $u_{n+1}=au_n+b$ ($a\neq1$) : on pose $v_n=u_n-\ell$ où $\ell=a\ell+b$ ; $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, d’où $u_n=\ell+v_0a^n$ et la limite selon $a$.
Application
$u_0=5$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$. Déterminer $\lim u_n$.
Réponse
$\ell=\dfrac{1}{2}\ell+1\iff\ell=2$ ; $v_n=u_n-2$ : $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$ et $v_0=3$.
$u_n=2+3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to0$.
$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$
Erreur fréquente
- Écrire la limite d’une suite récurrente sans avoir montré qu’elle converge.
- Oublier la condition $-1<q<1$ pour $\lim q^n=0$.
À retenir
- Monotone et bornée ⇒ convergente ; limite de $u_{n+1}=f(u_n)$ : solution de $f(x)=x$ ($f$ continue).
- $\lim q^n=0$ si $-1<q<1$ ; $+\infty$ si $q>1$.