خطاطة ذهنية «Limite d'une suite numérique» لتلاميذ الثانية باك علوم فيزيائية بالفرنسية والعربية: Convergence, comparaison, suites géométriques et récurrentes. Carte mentale Limite d'une suite numérique — 2ème année Bac sciences physiques.
À retenir : monotone et bornée ⇒ convergente
Rappels
- Arithmétique : $u_n=u_p+(n-p)r$
- Géométrique : $u_n=u_p\times q^{n-p}$
Récurrence : initialisation + hérédité
Suites de référence
- $n^p\to+\infty$ ; $\sqrt{n}\to+\infty$
- $\dfrac{1}{n^p}\to0$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\to0$
$u_n=f(n)$ : même limite que $f$
Convergence
- Limite finie : convergente
- Sinon : divergente
Mêmes opérations que les fonctions
Limites et ordre
- $|u_n-\ell|\leq v_n\to0$
- $u_n\geq v_n\to+\infty$
Gendarmes : $v_n\leq u_n\leq w_n$
Limite de $q^n$
- $-1<q<1$ : $0$
- $q>1$ : $+\infty$ ; $q=1$ : $1$
[!] $q\leq-1$ : pas de limite
Suites monotones
- Croissante et majorée
- Décroissante et minorée
Alors convergente
Suites récurrentes
- Encadrement, monotonie, convergence
- $f$ continue et $f(I)\subset I$
Limite : $f(\ell)=\ell$
Suite auxiliaire
- $u_{n+1}=au_n+b$ et $\ell=a\ell+b$
- $v_n=u_n-\ell$ géométrique
$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$
أحفظ : رتيبة ومحدودة ⇐ متقاربة
تذكير
- حسابية : $u_n=u_p+(n-p)r$
- هندسية : $u_n=u_p\times q^{n-p}$
الترجع : التحقق + الوراثة
المتتاليات المرجعية
- $n^p\to+\infty$ ؛ $\sqrt{n}\to+\infty$
- $\dfrac{1}{n^p}\to0$ ؛ $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\to0$
$u_n=f(n)$ : نفس نهاية $f$
التقارب
- نهاية منتهية : متقاربة
- وإلا : متباعدة
نفس عمليات الدوال
النهايات والترتيب
- $|u_n-\ell|\leq v_n\to0$
- $u_n\geq v_n\to+\infty$
التأطير : $v_n\leq u_n\leq w_n$
نهاية $q^n$
- $-1<q<1$ : $0$
- $q>1$ : $+\infty$ ؛ $q=1$ : $1$
[!] $q\leq-1$ : لا توجد نهاية
المتتاليات الرتيبة
- تزايدية ومكبورة
- تناقصية ومصغورة
إذن متقاربة
المتتاليات الترجعية
- التأطير، الرتابة، التقارب
- $f$ متصلة و $f(I)\subset I$
النهاية : $f(\ell)=\ell$
المتتالية المساعدة
- $u_{n+1}=au_n+b$ و $\ell=a\ell+b$
- $v_n=u_n-\ell$ هندسية
$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$