Dérivabilité en un point
Définition Définition
$f$ est dérivable en $a$ $\iff$ $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell\in\mathbb{R}$ ; on note $f'(a)=\ell$.
- À droite : $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'_d(a)$ ; à gauche : $f'_g(a)$.
- $f$ dérivable en $a$ $\iff$ dérivable à droite et à gauche avec $f'_d(a)=f'_g(a)$.
Remarque Remarque
[!] Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ (la réciproque est fausse : $|x|$ en $0$).
Interprétation géométrique
Propriété Tangente
$(T)\ :\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$
- $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : point anguleux (deux demi-tangentes).
- Si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty$ : demi-tangente verticale en $A(a;f(a))$.
Méthode Approximation affine
- Pour $h$ proche de $0$ : $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)$.
>> Exemple : $\sqrt{4{,}02}\approx2+0{,}02\times\dfrac{1}{4}=2{,}005$.
Dérivées usuelles et opérations
| $f(x)$ | $k$ | $x^n$ | $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{x}$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ |
| $f'(x)$ | $0$ | $nx^{n-1}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $1+\tan^2x$ |
Formules Opérations
- $(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$.
- $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
- $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$ ; $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ ($u>0$).
Composée : $\left(v\circ u\right)'(x)=u'(x)\times v'\left(u(x)\right)$ ; $\left(\sin(ax+b)\right)'=a\cos(ax+b)$.
Réciproque et racine n-ième
Théorème Dérivée de la réciproque
Si $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)\neq0$ et $b=f(a)$ alors $\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}$
- Si $f'(a)=0$ : $(C_{f^{-1}})$ admet une tangente verticale au point $(b;a)$.
Formules Racine n-ième et puissance rationnelle
- $\left(\sqrt[n]{x}\right)'=\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ pour $x>0$.
- $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ ($u>0$) ; $\left(u^r\right)'=ru'u^{r-1}$ ($r\in\mathbb{Q}^*$, $u>0$).
Monotonie et extremums
Propriété Signe de la dérivée
- $f'\geq0$ sur $I$ (nulle en des points isolés) $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante sur $I$.
- $f'\leq0$ sur $I$ (nulle en des points isolés) $\Rightarrow$ $f$ strictement décroissante sur $I$.
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f(a)$ est un extremum local.
Méthode Étudier les variations
- Étape 1 : calculer $f'(x)$ et la factoriser.
- Étape 2 : étudier le signe de $f'(x)$ (tableau de signes).
- Étape 3 : en déduire le tableau de variations avec les limites et les extremums.
Concavité et points d'inflexion
Propriété Dérivée seconde
- $f''\geq0$ sur $I$ : $(C_f)$ est convexe (au-dessus de ses tangentes).
- $f''\leq0$ sur $I$ : $(C_f)$ est concave (au-dessous de ses tangentes).
Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe : $A(a;f(a))$ est un point d'inflexion.
À retenir Je retiens
- Dérivable $\Rightarrow$ continue (pas l'inverse).
- Tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
- $\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$ avec $b=f(a)$.